Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1864 / 715
↖ ↑ ↗
← N 81.446675°
W 98.085938°		 ← 726.77 m → N 81.446675°
W 98.041992°		 →
↑
727.06 m
↓
↑
727.06 m
↓
N 81.440137°
W 98.085938°		 ← 727.32 m →
528 603 m²		 N 81.440137°
W 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22760009765625 y=0.08734130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22760009765625 × 213)
    floor (0.22760009765625 × 8192)
    floor (1864.5)     		tx = 1864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08734130859375 × 213)
    floor (0.08734130859375 × 8192)
    floor (715.5)     		ty = 715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1864 / 715 ti = "13/1864/715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1864/715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1864 ÷ 213
    1864 ÷ 8192     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 715 ÷ 213
    715 ÷ 8192     		y = 0.0872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0872802734375 × 2 - 1) × π
    0.825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59319452184656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59319452184656))-π/2
    2×atan(13.3724219372333)-π/2
    2×1.49615448706066-π/2
    2.99230897412132-1.57079632675     		φ = 1.42151265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42151265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.446675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1864 KachelY 715 -1.71192256 1.42151265 -98.085938 81.446675
    Oben rechts KachelX + 1 1865 KachelY 715 -1.71115557 1.42151265 -98.041992 81.446675
    Unten links KachelX 1864 KachelY + 1 716 -1.71192256 1.42139853 -98.085938 81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 1865 KachelY + 1 716 -1.71115557 1.42139853 -98.041992 81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42151265-1.42139853) × R
    0.000114119999999884 × 6371000     		dl = 727.058519999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42151265-1.42139853) × R
    0.000114119999999884 × 6371000     		dr = 727.058519999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.71115557) × cos(1.42151265) × R
    0.000766990000000023 × 0.148729814526745 × 6371000     		do = 726.767240707904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.71115557) × cos(1.42139853) × R
    0.000766990000000023 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 727.318680370482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42151265)-sin(1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148729814526745-0.14884266430057)×R²
    abs(-1.71115557--1.71192256)×0.000112849773825863×R²
    0.000766990000000023×0.000112849773825863×6371000²
    0.000766990000000023×0.000112849773825863×40589641000000     		ar = 528602.779438114m²