Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1864 / 2026
↖ ↑ ↗
← N 79.261777°
W139.042969°		 ← 455.24 m → N 79.261777°
W139.020996°		 →
↑
455.34 m
↓
↑
455.34 m
↓
N 79.257682°
W139.042969°		 ← 455.41 m →
207 324 m²		 N 79.257682°
W139.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113800048828125 y=0.123687744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113800048828125 × 214)
    floor (0.113800048828125 × 16384)
    floor (1864.5)     		tx = 1864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123687744140625 × 214)
    floor (0.123687744140625 × 16384)
    floor (2026.5)     		ty = 2026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1864 / 2026 ti = "14/1864/2026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1864/2026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1864 ÷ 214
    1864 ÷ 16384     		x = 0.11376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2026 ÷ 214
    2026 ÷ 16384     		y = 0.1236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11376953125 × 2 - 1) × π
    -0.7724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42675761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1236572265625 × 2 - 1) × π
    0.752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36463138445813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42675761} λ = -2.42675761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36463138445813))-π/2
    2×atan(10.640115982427)-π/2
    2×1.47708765093901-π/2
    2.95417530187802-1.57079632675     		φ = 1.38337898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42675761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38337898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.261777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1864 KachelY 2026 -2.42675761 1.38337898 -139.042969 79.261777
    Oben rechts KachelX + 1 1865 KachelY 2026 -2.42637411 1.38337898 -139.020996 79.261777
    Unten links KachelX 1864 KachelY + 1 2027 -2.42675761 1.38330751 -139.042969 79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 1865 KachelY + 1 2027 -2.42637411 1.38330751 -139.020996 79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38337898-1.38330751) × R
    7.14699999999624e-05 × 6371000     		dl = 455.33536999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38337898-1.38330751) × R
    7.14699999999624e-05 × 6371000     		dr = 455.33536999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42675761--2.42637411) × cos(1.38337898) × R
    0.000383500000000314 × 0.186322091557394 × 6371000     		do = 455.236760377585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42675761--2.42637411) × cos(1.38330751) × R
    0.000383500000000314 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 455.408322489342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38337898)-sin(1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186322091557394-0.186392309550045)×R²
    abs(-2.42637411--2.42675761)×7.02179926508339e-05×R²
    0.000383500000000314×7.02179926508339e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.02179926508339e-05×40589641000000     		ar = 207324.457961444m²