Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1864 / 1767
↖ ↑ ↗
← N 23.966176°
W 16.171875°		 ← 8 930.41 m → N 23.966176°
W 16.083984°		 →
↑
8 933.23 m
↓
↑
8 933.23 m
↓
N 23.885838°
W 16.171875°		 ← 8 935.97 m →
79 802 222 m²		 N 23.885838°
W 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4552001953125 y=0.4315185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4552001953125 × 212)
    floor (0.4552001953125 × 4096)
    floor (1864.5)     		tx = 1864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4315185546875 × 212)
    floor (0.4315185546875 × 4096)
    floor (1767.5)     		ty = 1767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1864 / 1767 ti = "12/1864/1767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1864/1767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1864 ÷ 212
    1864 ÷ 4096     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1767 ÷ 212
    1767 ÷ 4096     		y = 0.431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.431048601383545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431048601383545))-π/2
    2×atan(1.53887033936701)-π/2
    2×0.994542502424617-π/2
    1.98908500484923-1.57079632675     		φ = 0.41828868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41828868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.966176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1864 KachelY 1767 -0.28225246 0.41828868 -16.171875 23.966176
    Oben rechts KachelX + 1 1865 KachelY 1767 -0.28071848 0.41828868 -16.083984 23.966176
    Unten links KachelX 1864 KachelY + 1 1768 -0.28225246 0.41688651 -16.171875 23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 1865 KachelY + 1 1768 -0.28071848 0.41688651 -16.083984 23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41828868-0.41688651) × R
    0.00140217000000004 × 6371000     		dl = 8933.22507000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41828868-0.41688651) × R
    0.00140217000000004 × 6371000     		dr = 8933.22507000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28071848) × cos(0.41828868) × R
    0.00153397999999999 × 0.913785411547057 × 6371000     		do = 8930.41256404911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28071848) × cos(0.41688651) × R
    0.00153397999999999 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 8935.9700622982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41828868)-sin(0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913785411547057-0.91435407069783)×R²
    abs(-0.28071848--0.28225246)×0.00056865915077231×R²
    0.00153397999999999×0.00056865915077231×6371000²
    0.00153397999999999×0.00056865915077231×40589641000000     		ar = 79802221.6687521m²