Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1864 / 1375
↖ ↑ ↗
← N 75.855911°
W 98.085938°		 ← 1 194.07 m → N 75.855911°
W 98.041992°		 →
↑
1 194.56 m
↓
↑
1 194.56 m
↓
N 75.845168°
W 98.085938°		 ← 1 194.96 m →
1 426 921 m²		 N 75.845168°
W 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22760009765625 y=0.16790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22760009765625 × 213)
    floor (0.22760009765625 × 8192)
    floor (1864.5)     		tx = 1864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16790771484375 × 213)
    floor (0.16790771484375 × 8192)
    floor (1375.5)     		ty = 1375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1864 / 1375 ti = "13/1864/1375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1864/1375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1864 ÷ 213
    1864 ÷ 8192     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1375 ÷ 213
    1375 ÷ 8192     		y = 0.1678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1678466796875 × 2 - 1) × π
    0.664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08698086185876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08698086185876))-π/2
    2×atan(8.06054249929858)-π/2
    2×1.44736586599245-π/2
    2.89473173198489-1.57079632675     		φ = 1.32393541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32393541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.855911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1864 KachelY 1375 -1.71192256 1.32393541 -98.085938 75.855911
    Oben rechts KachelX + 1 1865 KachelY 1375 -1.71115557 1.32393541 -98.041992 75.855911
    Unten links KachelX 1864 KachelY + 1 1376 -1.71192256 1.32374791 -98.085938 75.845168
    Unten rechts KachelX + 1 1865 KachelY + 1 1376 -1.71115557 1.32374791 -98.041992 75.845168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32393541-1.32374791) × R
    0.000187500000000007 × 6371000     		dl = 1194.56250000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32393541-1.32374791) × R
    0.000187500000000007 × 6371000     		dr = 1194.56250000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.71115557) × cos(1.32393541) × R
    0.000766990000000023 × 0.244361248600454 × 6371000     		do = 1194.06960162218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.71115557) × cos(1.32374791) × R
    0.000766990000000023 × 0.244543060104282 × 6371000     		du = 1194.95802231567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32393541)-sin(1.32374791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244361248600454-0.244543060104282)×R²
    abs(-1.71115557--1.71192256)×0.000181811503827761×R²
    0.000766990000000023×0.000181811503827761×6371000²
    0.000766990000000023×0.000181811503827761×40589641000000     		ar = 1426921.40969155m²