Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1864 / 1365
↖ ↑ ↗
← N 75.962898°
W 98.085938°		 ← 1 185.22 m → N 75.962898°
W 98.041992°		 →
↑
1 185.64 m
↓
↑
1 185.64 m
↓
N 75.952235°
W 98.085938°		 ← 1 186.10 m →
1 405 771 m²		 N 75.952235°
W 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22760009765625 y=0.16668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22760009765625 × 213)
    floor (0.22760009765625 × 8192)
    floor (1864.5)     		tx = 1864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16668701171875 × 213)
    floor (0.16668701171875 × 8192)
    floor (1365.5)     		ty = 1365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1864 / 1365 ti = "13/1864/1365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1864/1365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1864 ÷ 213
    1864 ÷ 8192     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1365 ÷ 213
    1365 ÷ 8192     		y = 0.1666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1666259765625 × 2 - 1) × π
    0.666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09465076579797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09465076579797))-π/2
    2×atan(8.12260378376939)-π/2
    2×1.44829950290405-π/2
    2.89659900580809-1.57079632675     		φ = 1.32580268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32580268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.962898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1864 KachelY 1365 -1.71192256 1.32580268 -98.085938 75.962898
    Oben rechts KachelX + 1 1865 KachelY 1365 -1.71115557 1.32580268 -98.041992 75.962898
    Unten links KachelX 1864 KachelY + 1 1366 -1.71192256 1.32561658 -98.085938 75.952235
    Unten rechts KachelX + 1 1865 KachelY + 1 1366 -1.71115557 1.32561658 -98.041992 75.952235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32580268-1.32561658) × R
    0.000186100000000078 × 6371000     		dl = 1185.6431000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32580268-1.32561658) × R
    0.000186100000000078 × 6371000     		dr = 1185.6431000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.71115557) × cos(1.32580268) × R
    0.000766990000000023 × 0.242550161302273 × 6371000     		do = 1185.21973569201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.71115557) × cos(1.32561658) × R
    0.000766990000000023 × 0.242730699944041 × 6371000     		du = 1186.1019365536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32580268)-sin(1.32561658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242550161302273-0.242730699944041)×R²
    abs(-1.71115557--1.71192256)×0.000180538641768369×R²
    0.000766990000000023×0.000180538641768369×6371000²
    0.000766990000000023×0.000180538641768369×40589641000000     		ar = 1405770.59334672m²