Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18638 / 19647
↖ ↑ ↗
← S 33.715202°
E 24.763184°		 ← 1 016.11 m → S 33.715202°
E 24.774170°		 →
↑
1 016.11 m
↓
↑
1 016.11 m
↓
S 33.724340°
E 24.763184°		 ← 1 016.01 m →
1 032 430 m²		 S 33.724340°
E 24.774170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568801879882812 y=0.599594116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568801879882812 × 215)
    floor (0.568801879882812 × 32768)
    floor (18638.5)     		tx = 18638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599594116210938 × 215)
    floor (0.599594116210938 × 32768)
    floor (19647.5)     		ty = 19647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18638 / 19647 ti = "15/18638/19647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18638/19647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18638 ÷ 215
    18638 ÷ 32768     		x = 0.56878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19647 ÷ 215
    19647 ÷ 32768     		y = 0.599578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56878662109375 × 2 - 1) × π
    0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.19915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.625672413840973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43219909} λ = 0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625672413840973))-π/2
    2×atan(0.534901632305449)-π/2
    2×0.491177525067618-π/2
    0.982355050135236-1.57079632675     		φ = -0.58844128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58844128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.715202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18638 KachelY 19647 0.43219909 -0.58844128 24.763184 -33.715202
    Oben rechts KachelX + 1 18639 KachelY 19647 0.43239083 -0.58844128 24.774170 -33.715202
    Unten links KachelX 18638 KachelY + 1 19648 0.43219909 -0.58860077 24.763184 -33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 18639 KachelY + 1 19648 0.43239083 -0.58860077 24.774170 -33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58844128--0.58860077) × R
    0.00015949000000004 × 6371000     		dl = 1016.11079000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58844128--0.58860077) × R
    0.00015949000000004 × 6371000     		dr = 1016.11079000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43219909-0.43239083) × cos(-0.58844128) × R
    0.000191739999999996 × 0.831806880372762 × 6371000     		do = 1016.11493906705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43219909-0.43239083) × cos(-0.58860077) × R
    0.000191739999999996 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 1016.00678331113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58844128)-sin(-0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831806880372762-0.831718342454006)×R²
    abs(0.43239083-0.43219909)×8.85379187561819e-05×R²
    0.000191739999999996×8.85379187561819e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.85379187561819e-05×40589641000000     		ar = 1032430.40653914m²