Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18637 / 14021
↖ ↑ ↗
← N 71.178895°
W 77.623902°		 ← 197.07 m → N 71.178895°
W 77.618408°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 71.177123°
W 77.623902°		 ← 197.09 m →
38 835 m²		 N 71.177123°
W 77.618408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284385681152344 y=0.213951110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284385681152344 × 216)
    floor (0.284385681152344 × 65536)
    floor (18637.5)     		tx = 18637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213951110839844 × 216)
    floor (0.213951110839844 × 65536)
    floor (14021.5)     		ty = 14021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18637 / 14021 ti = "16/18637/14021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18637/14021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18637 ÷ 216
    18637 ÷ 65536     		x = 0.284378051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14021 ÷ 216
    14021 ÷ 65536     		y = 0.213943481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284378051757812 × 2 - 1) × π
    -0.431243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.35479266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213943481445312 × 2 - 1) × π
    0.572113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79734611435439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35479266} λ = -1.35479266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79734611435439))-π/2
    2×atan(6.03361367717565)-π/2
    2×1.40655120175113-π/2
    2.81310240350227-1.57079632675     		φ = 1.24230608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35479266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.623902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24230608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.178895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18637 KachelY 14021 -1.35479266 1.24230608 -77.623902 71.178895
    Oben rechts KachelX + 1 18638 KachelY 14021 -1.35469678 1.24230608 -77.618408 71.178895
    Unten links KachelX 18637 KachelY + 1 14022 -1.35479266 1.24227515 -77.623902 71.177123
    Unten rechts KachelX + 1 18638 KachelY + 1 14022 -1.35469678 1.24227515 -77.618408 71.177123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24230608-1.24227515) × R
    3.09300000000956e-05 × 6371000     		dl = 197.055030000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24230608-1.24227515) × R
    3.09300000000956e-05 × 6371000     		dr = 197.055030000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35479266--1.35469678) × cos(1.24230608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		do = 197.069464878295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35479266--1.35469678) × cos(1.24227515) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322643645206462 × 6371000     		du = 197.087348186833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24230608)-sin(1.24227515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322614369172723-0.322643645206462)×R²
    abs(-1.35469678--1.35479266)×2.92760337392006e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.92760337392006e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.92760337392006e-05×40589641000000     		ar = 38835.2913147049m²