Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18636 / 14020
↖ ↑ ↗
← N 71.180667°
W 77.629394°		 ← 197.03 m → N 71.180667°
W 77.623902°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 71.178895°
W 77.629394°		 ← 197.05 m →
38 828 m²		 N 71.178895°
W 77.623902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284370422363281 y=0.213935852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284370422363281 × 216)
    floor (0.284370422363281 × 65536)
    floor (18636.5)     		tx = 18636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213935852050781 × 216)
    floor (0.213935852050781 × 65536)
    floor (14020.5)     		ty = 14020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18636 / 14020 ti = "16/18636/14020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18636/14020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18636 ÷ 216
    18636 ÷ 65536     		x = 0.28436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14020 ÷ 216
    14020 ÷ 65536     		y = 0.21392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.4312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.35488853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21392822265625 × 2 - 1) × π
    0.5721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79744198815363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35488853} λ = -1.35488853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79744198815363))-π/2
    2×atan(6.03419217037276)-π/2
    2×1.40656666618222-π/2
    2.81313333236444-1.57079632675     		φ = 1.24233701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35488853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.629394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24233701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.180667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18636 KachelY 14020 -1.35488853 1.24233701 -77.629394 71.180667
    Oben rechts KachelX + 1 18637 KachelY 14020 -1.35479266 1.24233701 -77.623902 71.180667
    Unten links KachelX 18636 KachelY + 1 14021 -1.35488853 1.24230608 -77.629394 71.178895
    Unten rechts KachelX + 1 18637 KachelY + 1 14021 -1.35479266 1.24230608 -77.623902 71.178895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24233701-1.24230608) × R
    3.09299999998736e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24233701-1.24230608) × R
    3.09299999998736e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35488853--1.35479266) × cos(1.24233701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32258509283035 × 6371000     		do = 197.031029485088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35488853--1.35479266) × cos(1.24230608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		du = 197.04891111696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24233701)-sin(1.24230608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32258509283035-0.322614369172723)×R²
    abs(-1.35479266--1.35488853)×2.92763423727638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92763423727638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92763423727638e-05×40589641000000     		ar = 38827.7172617225m²