Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18635 / 19133
↖ ↑ ↗
← S 28.892779°
E 24.730224°		 ← 1 069.58 m → S 28.892779°
E 24.741211°		 →
↑
1 069.50 m
↓
↑
1 069.50 m
↓
S 28.902397°
E 24.730224°		 ← 1 069.48 m →
1 143 859 m²		 S 28.902397°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568710327148438 y=0.583908081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568710327148438 × 215)
    floor (0.568710327148438 × 32768)
    floor (18635.5)     		tx = 18635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583908081054688 × 215)
    floor (0.583908081054688 × 32768)
    floor (19133.5)     		ty = 19133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18635 / 19133 ti = "15/18635/19133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18635/19133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18635 ÷ 215
    18635 ÷ 32768     		x = 0.568695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19133 ÷ 215
    19133 ÷ 32768     		y = 0.583892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568695068359375 × 2 - 1) × π
    0.13739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43162384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.16778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.527114148222137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43162384} λ = 0.43162384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527114148222137))-π/2
    2×atan(0.590306049728434)-π/2
    2×0.533261102785807-π/2
    1.06652220557161-1.57079632675     		φ = -0.50427412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43162384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50427412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.892779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18635 KachelY 19133 0.43162384 -0.50427412 24.730224 -28.892779
    Oben rechts KachelX + 1 18636 KachelY 19133 0.43181559 -0.50427412 24.741211 -28.892779
    Unten links KachelX 18635 KachelY + 1 19134 0.43162384 -0.50444199 24.730224 -28.902397
    Unten rechts KachelX + 1 18636 KachelY + 1 19134 0.43181559 -0.50444199 24.741211 -28.902397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50427412--0.50444199) × R
    0.000167869999999959 × 6371000     		dl = 1069.49976999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50427412--0.50444199) × R
    0.000167869999999959 × 6371000     		dr = 1069.49976999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43162384-0.43181559) × cos(-0.50427412) × R
    0.000191750000000046 × 0.875525429974662 × 6371000     		do = 1069.57622963043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43162384-0.43181559) × cos(-0.50444199) × R
    0.000191750000000046 × 0.875444307548174 × 6371000     		du = 1069.47712729018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50427412)-sin(-0.50444199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875525429974662-0.875444307548174)×R²
    abs(0.43181559-0.43162384)×8.11224264882782e-05×R²
    0.000191750000000046×8.11224264882782e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.11224264882782e-05×40589641000000     		ar = 1143858.53930796m²