Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18634 / 15438
↖ ↑ ↗
← N 10.336536°
E 24.719238°		 ← 1 201.75 m → N 10.336536°
E 24.730224°		 →
↑
1 201.83 m
↓
↑
1 201.83 m
↓
N 10.325728°
E 24.719238°		 ← 1 201.79 m →
1 444 319 m²		 N 10.325728°
E 24.730224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568679809570312 y=0.471145629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568679809570312 × 215)
    floor (0.568679809570312 × 32768)
    floor (18634.5)     		tx = 18634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471145629882812 × 215)
    floor (0.471145629882812 × 32768)
    floor (15438.5)     		ty = 15438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18634 / 15438 ti = "15/18634/15438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18634/15438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18634 ÷ 215
    18634 ÷ 32768     		x = 0.56866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15438 ÷ 215
    15438 ÷ 32768     		y = 0.47113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56866455078125 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47113037109375 × 2 - 1) × π
    0.0577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.181393228162292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43143210} λ = 0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181393228162292))-π/2
    2×atan(1.19888652255847)-π/2
    2×0.875601457380303-π/2
    1.75120291476061-1.57079632675     		φ = 0.18040659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18040659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.336536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18634 KachelY 15438 0.43143210 0.18040659 24.719238 10.336536
    Oben rechts KachelX + 1 18635 KachelY 15438 0.43162384 0.18040659 24.730224 10.336536
    Unten links KachelX 18634 KachelY + 1 15439 0.43143210 0.18021795 24.719238 10.325728
    Unten rechts KachelX + 1 18635 KachelY + 1 15439 0.43162384 0.18021795 24.730224 10.325728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18040659-0.18021795) × R
    0.000188640000000018 × 6371000     		dl = 1201.82544000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18040659-0.18021795) × R
    0.000188640000000018 × 6371000     		dr = 1201.82544000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43143210-0.43162384) × cos(0.18040659) × R
    0.000191739999999996 × 0.983770819833598 × 6371000     		do = 1201.75037047444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43143210-0.43162384) × cos(0.18021795) × R
    0.000191739999999996 × 0.983804649925531 × 6371000     		du = 1201.79169648727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18040659)-sin(0.18021795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983770819833598-0.983804649925531)×R²
    abs(0.43162384-0.43143210)×3.38300919328072e-05×R²
    0.000191739999999996×3.38300919328072e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.38300919328072e-05×40589641000000     		ar = 1444319.00537569m²