Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18633 / 19649
↖ ↑ ↗
← S 33.733477°
E 24.708252°		 ← 1 015.95 m → S 33.733477°
E 24.719238°		 →
↑
1 015.86 m
↓
↑
1 015.86 m
↓
S 33.742613°
E 24.708252°		 ← 1 015.84 m →
1 032 006 m²		 S 33.742613°
E 24.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568649291992188 y=0.599655151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568649291992188 × 215)
    floor (0.568649291992188 × 32768)
    floor (18633.5)     		tx = 18633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599655151367188 × 215)
    floor (0.599655151367188 × 32768)
    floor (19649.5)     		ty = 19649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18633 / 19649 ti = "15/18633/19649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18633/19649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18633 ÷ 215
    18633 ÷ 32768     		x = 0.568634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19649 ÷ 215
    19649 ÷ 32768     		y = 0.599639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568634033203125 × 2 - 1) × π
    0.13726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43124035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.19927978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.626055909037933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43124035} λ = 0.43124035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626055909037933))-π/2
    2×atan(0.534696539427194)-π/2
    2×0.491018045072698-π/2
    0.982036090145397-1.57079632675     		φ = -0.58876024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43124035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58876024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.733477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18633 KachelY 19649 0.43124035 -0.58876024 24.708252 -33.733477
    Oben rechts KachelX + 1 18634 KachelY 19649 0.43143210 -0.58876024 24.719238 -33.733477
    Unten links KachelX 18633 KachelY + 1 19650 0.43124035 -0.58891969 24.708252 -33.742613
    Unten rechts KachelX + 1 18634 KachelY + 1 19650 0.43143210 -0.58891969 24.719238 -33.742613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58876024--0.58891969) × R
    0.00015944999999995 × 6371000     		dl = 1015.85594999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58876024--0.58891969) × R
    0.00015944999999995 × 6371000     		dr = 1015.85594999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43124035-0.43143210) × cos(-0.58876024) × R
    0.000191749999999991 × 0.831629794485389 × 6371000     		do = 1015.95159841273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43124035-0.43143210) × cos(-0.58891969) × R
    0.000191749999999991 × 0.831541236477121 × 6371000     		du = 1015.84341247393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58876024)-sin(-0.58891969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831629794485389-0.831541236477121)×R²
    abs(0.43143210-0.43124035)×8.85580082680137e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85580082680137e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85580082680137e-05×40589641000000     		ar = 1032005.52768095m²