Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18633 / 19131
↖ ↑ ↗
← S 28.873539°
E 24.708252°		 ← 1 069.77 m → S 28.873539°
E 24.719238°		 →
↑
1 069.69 m
↓
↑
1 069.69 m
↓
S 28.883159°
E 24.708252°		 ← 1 069.68 m →
1 144 275 m²		 S 28.883159°
E 24.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568649291992188 y=0.583847045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568649291992188 × 215)
    floor (0.568649291992188 × 32768)
    floor (18633.5)     		tx = 18633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583847045898438 × 215)
    floor (0.583847045898438 × 32768)
    floor (19131.5)     		ty = 19131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18633 / 19131 ti = "15/18633/19131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18633/19131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18633 ÷ 215
    18633 ÷ 32768     		x = 0.568634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19131 ÷ 215
    19131 ÷ 32768     		y = 0.583831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568634033203125 × 2 - 1) × π
    0.13726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43124035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.526730653025177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43124035} λ = 0.43124035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526730653025177))-π/2
    2×atan(0.590532472676523)-π/2
    2×0.533428998235688-π/2
    1.06685799647138-1.57079632675     		φ = -0.50393833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43124035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50393833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.873539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18633 KachelY 19131 0.43124035 -0.50393833 24.708252 -28.873539
    Oben rechts KachelX + 1 18634 KachelY 19131 0.43143210 -0.50393833 24.719238 -28.873539
    Unten links KachelX 18633 KachelY + 1 19132 0.43124035 -0.50410623 24.708252 -28.883159
    Unten rechts KachelX + 1 18634 KachelY + 1 19132 0.43143210 -0.50410623 24.719238 -28.883159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50393833--0.50410623) × R
    0.000167899999999999 × 6371000     		dl = 1069.69089999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50393833--0.50410623) × R
    0.000167899999999999 × 6371000     		dr = 1069.69089999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43124035-0.43143210) × cos(-0.50393833) × R
    0.000191749999999991 × 0.875687624951451 × 6371000     		do = 1069.77437337992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43124035-0.43143210) × cos(-0.50410623) × R
    0.000191749999999991 × 0.87560653738905 × 6371000     		du = 1069.675313631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50393833)-sin(-0.50410623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875687624951451-0.87560653738905)×R²
    abs(0.43143210-0.43124035)×8.10875624009944e-05×R²
    0.000191749999999991×8.10875624009944e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.10875624009944e-05×40589641000000     		ar = 1144274.9332899m²