Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18632 / 13502
↖ ↑ ↗
← N 30.164126°
E 24.697266°		 ← 1 056.22 m → N 30.164126°
E 24.708252°		 →
↑
1 056.25 m
↓
↑
1 056.25 m
↓
N 30.154627°
E 24.697266°		 ← 1 056.32 m →
1 115 680 m²		 N 30.154627°
E 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568618774414062 y=0.412063598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568618774414062 × 215)
    floor (0.568618774414062 × 32768)
    floor (18632.5)     		tx = 18632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412063598632812 × 215)
    floor (0.412063598632812 × 32768)
    floor (13502.5)     		ty = 13502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18632 / 13502 ti = "15/18632/13502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18632/13502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18632 ÷ 215
    18632 ÷ 32768     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13502 ÷ 215
    13502 ÷ 32768     		y = 0.41204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41204833984375 × 2 - 1) × π
    0.1759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.552616578820007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552616578820007))-π/2
    2×atan(1.73779414952722)-π/2
    2×1.04862982372848-π/2
    2.09725964745696-1.57079632675     		φ = 0.52646332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52646332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.164126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18632 KachelY 13502 0.43104860 0.52646332 24.697266 30.164126
    Oben rechts KachelX + 1 18633 KachelY 13502 0.43124035 0.52646332 24.708252 30.164126
    Unten links KachelX 18632 KachelY + 1 13503 0.43104860 0.52629753 24.697266 30.154627
    Unten rechts KachelX + 1 18633 KachelY + 1 13503 0.43124035 0.52629753 24.708252 30.154627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52646332-0.52629753) × R
    0.000165789999999943 × 6371000     		dl = 1056.24808999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52646332-0.52629753) × R
    0.000165789999999943 × 6371000     		dr = 1056.24808999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43124035) × cos(0.52646332) × R
    0.000191749999999991 × 0.864589580409435 × 6371000     		do = 1056.21656656914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43124035) × cos(0.52629753) × R
    0.000191749999999991 × 0.864672874472757 × 6371000     		du = 1056.31832186619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52646332)-sin(0.52629753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864589580409435-0.864672874472757)×R²
    abs(0.43124035-0.43104860)×8.32940633227475e-05×R²
    0.000191749999999991×8.32940633227475e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.32940633227475e-05×40589641000000     		ar = 1115680.47303926m²