Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18632 / 13401
↖ ↑ ↗
← N 31.118794°
E 24.697266°		 ← 1 045.84 m → N 31.118794°
E 24.708252°		 →
↑
1 045.86 m
↓
↑
1 045.86 m
↓
N 31.109389°
E 24.697266°		 ← 1 045.95 m →
1 093 862 m²		 N 31.109389°
E 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568618774414062 y=0.408981323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568618774414062 × 215)
    floor (0.568618774414062 × 32768)
    floor (18632.5)     		tx = 18632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408981323242188 × 215)
    floor (0.408981323242188 × 32768)
    floor (13401.5)     		ty = 13401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18632 / 13401 ti = "15/18632/13401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18632/13401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18632 ÷ 215
    18632 ÷ 32768     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13401 ÷ 215
    13401 ÷ 32768     		y = 0.408966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408966064453125 × 2 - 1) × π
    0.18206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.57198308626651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57198308626651))-π/2
    2×atan(1.77177715680951)-π/2
    2×1.05696087412104-π/2
    2.11392174824208-1.57079632675     		φ = 0.54312542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54312542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.118794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18632 KachelY 13401 0.43104860 0.54312542 24.697266 31.118794
    Oben rechts KachelX + 1 18633 KachelY 13401 0.43124035 0.54312542 24.708252 31.118794
    Unten links KachelX 18632 KachelY + 1 13402 0.43104860 0.54296126 24.697266 31.109389
    Unten rechts KachelX + 1 18633 KachelY + 1 13402 0.43124035 0.54296126 24.708252 31.109389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54312542-0.54296126) × R
    0.000164159999999969 × 6371000     		dl = 1045.8633599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54312542-0.54296126) × R
    0.000164159999999969 × 6371000     		dr = 1045.8633599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43124035) × cos(0.54312542) × R
    0.000191749999999991 × 0.856097603915797 × 6371000     		do = 1045.84243477444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43124035) × cos(0.54296126) × R
    0.000191749999999991 × 0.856182432595281 × 6371000     		du = 1045.94606481882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54312542)-sin(0.54296126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856097603915797-0.856182432595281)×R²
    abs(0.43124035-0.43104860)×8.48286794843389e-05×R²
    0.000191749999999991×8.48286794843389e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.48286794843389e-05×40589641000000     		ar = 1093862.47675388m²