Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18631 / 13369
↖ ↑ ↗
← N 31.419288°
E 24.686279°		 ← 1 042.52 m → N 31.419288°
E 24.697266°		 →
↑
1 042.55 m
↓
↑
1 042.55 m
↓
N 31.409912°
E 24.686279°		 ← 1 042.62 m →
1 086 931 m²		 N 31.409912°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568588256835938 y=0.408004760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568588256835938 × 215)
    floor (0.568588256835938 × 32768)
    floor (18631.5)     		tx = 18631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408004760742188 × 215)
    floor (0.408004760742188 × 32768)
    floor (13369.5)     		ty = 13369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18631 / 13369 ti = "15/18631/13369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18631/13369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18631 ÷ 215
    18631 ÷ 32768     		x = 0.568572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13369 ÷ 215
    13369 ÷ 32768     		y = 0.407989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568572998046875 × 2 - 1) × π
    0.13714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43085685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407989501953125 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.578119009417877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43085685} λ = 0.43085685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578119009417877))-π/2
    2×atan(1.78268206691651)-π/2
    2×1.05958317659119-π/2
    2.11916635318238-1.57079632675     		φ = 0.54837003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43085685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54837003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.419288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18631 KachelY 13369 0.43085685 0.54837003 24.686279 31.419288
    Oben rechts KachelX + 1 18632 KachelY 13369 0.43104860 0.54837003 24.697266 31.419288
    Unten links KachelX 18631 KachelY + 1 13370 0.43085685 0.54820639 24.686279 31.409912
    Unten rechts KachelX + 1 18632 KachelY + 1 13370 0.43104860 0.54820639 24.697266 31.409912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54837003-0.54820639) × R
    0.000163639999999909 × 6371000     		dl = 1042.55043999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54837003-0.54820639) × R
    0.000163639999999909 × 6371000     		dr = 1042.55043999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43085685-0.43104860) × cos(0.54837003) × R
    0.000191749999999991 × 0.853375353690533 × 6371000     		do = 1042.51682705094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43085685-0.43104860) × cos(0.54820639) × R
    0.000191749999999991 × 0.853460647296502 × 6371000     		du = 1042.62102506776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54837003)-sin(0.54820639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853375353690533-0.853460647296502)×R²
    abs(0.43104860-0.43085685)×8.52936059683174e-05×R²
    0.000191749999999991×8.52936059683174e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.52936059683174e-05×40589641000000     		ar = 1086930.69501775m²