Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1863 / 1834
↖ ↑ ↗
← S 80.474065°
E147.480469°		 ← 3 234.74 m → S 80.474065°
E147.656250°		 →
↑
3 229.84 m
↓
↑
3 229.84 m
↓
S 80.503112°
E147.480469°		 ← 3 224.97 m →
10 431 924 m²		 S 80.503112°
E147.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909912109375 y=0.895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909912109375 × 211)
    floor (0.909912109375 × 2048)
    floor (1863.5)     		tx = 1863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895751953125 × 211)
    floor (0.895751953125 × 2048)
    floor (1834.5)     		ty = 1834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1863 / 1834 ti = "11/1863/1834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1863/1834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1863 ÷ 211
    1863 ÷ 2048     		x = 0.90966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1834 ÷ 211
    1834 ÷ 2048     		y = 0.8955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90966796875 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57401976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8955078125 × 2 - 1) × π
    -0.791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57401976} λ = 2.57401976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48504887630371))-π/2
    2×atan(0.0833214819665001)-π/2
    2×0.0831294622436292-π/2
    0.166258924487258-1.57079632675     		φ = -1.40453740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57401976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40453740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.474065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1863 KachelY 1834 2.57401976 -1.40453740 147.480469 -80.474065
    Oben rechts KachelX + 1 1864 KachelY 1834 2.57708772 -1.40453740 147.656250 -80.474065
    Unten links KachelX 1863 KachelY + 1 1835 2.57401976 -1.40504436 147.480469 -80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 1864 KachelY + 1 1835 2.57708772 -1.40504436 147.656250 -80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40453740--1.40504436) × R
    0.000506960000000056 × 6371000     		dl = 3229.84216000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40453740--1.40504436) × R
    0.000506960000000056 × 6371000     		dr = 3229.84216000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57401976-2.57708772) × cos(-1.40453740) × R
    0.00306796000000009 × 0.165494028999507 × 6371000     		do = 3234.74184896472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57401976-2.57708772) × cos(-1.40504436) × R
    0.00306796000000009 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 3224.96904477982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40453740)-sin(-1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165494028999507-0.164994038331102)×R²
    abs(2.57708772-2.57401976)×0.00049999066840492×R²
    0.00306796000000009×0.00049999066840492×6371000²
    0.00306796000000009×0.00049999066840492×40589641000000     		ar = 10431923.5164453m²