Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1863 / 1111
↖ ↑ ↗
← N 63.273182°
W 16.259766°		 ← 4 395.30 m → N 63.273182°
W 16.171875°		 →
↑
4 398.28 m
↓
↑
4 398.28 m
↓
N 63.233628°
W 16.259766°		 ← 4 401.33 m →
19 345 041 m²		 N 63.233628°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4549560546875 y=0.2713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4549560546875 × 212)
    floor (0.4549560546875 × 4096)
    floor (1863.5)     		tx = 1863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2713623046875 × 212)
    floor (0.2713623046875 × 4096)
    floor (1111.5)     		ty = 1111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1863 / 1111 ti = "12/1863/1111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1863/1111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1863 ÷ 212
    1863 ÷ 4096     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1111 ÷ 212
    1111 ÷ 4096     		y = 0.271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271240234375 × 2 - 1) × π
    0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43733999820776))-π/2
    2×atan(4.20948367732573)-π/2
    2×1.33756084196913-π/2
    2.67512168393826-1.57079632675     		φ = 1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1863 KachelY 1111 -0.28378645 1.10432536 -16.259766 63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 1864 KachelY 1111 -0.28225246 1.10432536 -16.171875 63.273182
    Unten links KachelX 1863 KachelY + 1 1112 -0.28378645 1.10363500 -16.259766 63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 1864 KachelY + 1 1112 -0.28225246 1.10363500 -16.171875 63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10432536-1.10363500) × R
    0.000690360000000112 × 6371000     		dl = 4398.28356000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10432536-1.10363500) × R
    0.000690360000000112 × 6371000     		dr = 4398.28356000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28225246) × cos(1.10432536) × R
    0.00153399000000004 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 4395.30327289789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28225246) × cos(1.10363500) × R
    0.00153399000000004 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 4401.32831340789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10432536)-sin(1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.450353593075369)×R²
    abs(-0.28225246--0.28378645)×0.000616495396137617×R²
    0.00153399000000004×0.000616495396137617×6371000²
    0.00153399000000004×0.000616495396137617×40589641000000     		ar = 19345040.8130291m²