Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18629 / 19125
↖ ↑ ↗
← S 28.815800°
E 24.664307°		 ← 1 070.37 m → S 28.815800°
E 24.675293°		 →
↑
1 070.33 m
↓
↑
1 070.33 m
↓
S 28.825425°
E 24.664307°		 ← 1 070.27 m →
1 145 592 m²		 S 28.825425°
E 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568527221679688 y=0.583663940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568527221679688 × 215)
    floor (0.568527221679688 × 32768)
    floor (18629.5)     		tx = 18629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583663940429688 × 215)
    floor (0.583663940429688 × 32768)
    floor (19125.5)     		ty = 19125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18629 / 19125 ti = "15/18629/19125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18629/19125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18629 ÷ 215
    18629 ÷ 32768     		x = 0.568511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19125 ÷ 215
    19125 ÷ 32768     		y = 0.583648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568511962890625 × 2 - 1) × π
    0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.16729736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.525580167434296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43047336} λ = 0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525580167434296))-π/2
    2×atan(0.591212262746644)-π/2
    2×0.533932871096524-π/2
    1.06786574219305-1.57079632675     		φ = -0.50293058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50293058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.815800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18629 KachelY 19125 0.43047336 -0.50293058 24.664307 -28.815800
    Oben rechts KachelX + 1 18630 KachelY 19125 0.43066511 -0.50293058 24.675293 -28.815800
    Unten links KachelX 18629 KachelY + 1 19126 0.43047336 -0.50309858 24.664307 -28.825425
    Unten rechts KachelX + 1 18630 KachelY + 1 19126 0.43066511 -0.50309858 24.675293 -28.825425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50293058--0.50309858) × R
    0.000167999999999946 × 6371000     		dl = 1070.32799999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50293058--0.50309858) × R
    0.000167999999999946 × 6371000     		dr = 1070.32799999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43047336-0.43066511) × cos(-0.50293058) × R
    0.000191749999999991 × 0.876173800538453 × 6371000     		do = 1070.36830455939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43047336-0.43066511) × cos(-0.50309858) × R
    0.000191749999999991 × 0.876092812963516 × 6371000     		du = 1070.26936695909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50293058)-sin(-0.50309858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876173800538453-0.876092812963516)×R²
    abs(0.43066511-0.43047336)×8.09875749371303e-05×R²
    0.000191749999999991×8.09875749371303e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.09875749371303e-05×40589641000000     		ar = 1145592.22153444m²