Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18627 / 13758
↖ ↑ ↗
← N 27.702984°
E 24.642334°		 ← 1 081.60 m → N 27.702984°
E 24.653320°		 →
↑
1 081.67 m
↓
↑
1 081.67 m
↓
N 27.693256°
E 24.642334°		 ← 1 081.70 m →
1 169 987 m²		 N 27.693256°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568466186523438 y=0.419876098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568466186523438 × 215)
    floor (0.568466186523438 × 32768)
    floor (18627.5)     		tx = 18627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419876098632812 × 215)
    floor (0.419876098632812 × 32768)
    floor (13758.5)     		ty = 13758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18627 / 13758 ti = "15/18627/13758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18627/13758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18627 ÷ 215
    18627 ÷ 32768     		x = 0.568450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13758 ÷ 215
    13758 ÷ 32768     		y = 0.41986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568450927734375 × 2 - 1) × π
    0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41986083984375 × 2 - 1) × π
    0.1602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.50352919360907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43008986} λ = 0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50352919360907))-π/2
    2×atan(1.65455020694404)-π/2
    2×1.02715230279676-π/2
    2.05430460559352-1.57079632675     		φ = 0.48350828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48350828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.702984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18627 KachelY 13758 0.43008986 0.48350828 24.642334 27.702984
    Oben rechts KachelX + 1 18628 KachelY 13758 0.43028161 0.48350828 24.653320 27.702984
    Unten links KachelX 18627 KachelY + 1 13759 0.43008986 0.48333850 24.642334 27.693256
    Unten rechts KachelX + 1 18628 KachelY + 1 13759 0.43028161 0.48333850 24.653320 27.693256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48350828-0.48333850) × R
    0.000169780000000008 × 6371000     		dl = 1081.66838000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48350828-0.48333850) × R
    0.000169780000000008 × 6371000     		dr = 1081.66838000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43008986-0.43028161) × cos(0.48350828) × R
    0.000191749999999991 × 0.885369416882763 × 6371000     		do = 1081.60203041354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43008986-0.43028161) × cos(0.48333850) × R
    0.000191749999999991 × 0.885448332832659 × 6371000     		du = 1081.69843723539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48350828)-sin(0.48333850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885369416882763-0.885448332832659)×R²
    abs(0.43028161-0.43008986)×7.89159498955083e-05×R²
    0.000191749999999991×7.89159498955083e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.89159498955083e-05×40589641000000     		ar = 1169986.85895808m²