Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18626 / 13757
↖ ↑ ↗
← N 27.712710°
E 24.631348°		 ← 1 081.45 m → N 27.712710°
E 24.642334°		 →
↑
1 081.54 m
↓
↑
1 081.54 m
↓
N 27.702984°
E 24.631348°		 ← 1 081.55 m →
1 169 684 m²		 N 27.702984°
E 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568435668945312 y=0.419845581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568435668945312 × 215)
    floor (0.568435668945312 × 32768)
    floor (18626.5)     		tx = 18626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419845581054688 × 215)
    floor (0.419845581054688 × 32768)
    floor (13757.5)     		ty = 13757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18626 / 13757 ti = "15/18626/13757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18626/13757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18626 ÷ 215
    18626 ÷ 32768     		x = 0.56842041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13757 ÷ 215
    13757 ÷ 32768     		y = 0.419830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56842041015625 × 2 - 1) × π
    0.1368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42989812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419830322265625 × 2 - 1) × π
    0.16033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.50372094120755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42989812} λ = 0.42989812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50372094120755))-π/2
    2×atan(1.65486749339127)-π/2
    2×1.02723718274293-π/2
    2.05447436548585-1.57079632675     		φ = 0.48367804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42989812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48367804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.712710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18626 KachelY 13757 0.42989812 0.48367804 24.631348 27.712710
    Oben rechts KachelX + 1 18627 KachelY 13757 0.43008986 0.48367804 24.642334 27.712710
    Unten links KachelX 18626 KachelY + 1 13758 0.42989812 0.48350828 24.631348 27.702984
    Unten rechts KachelX + 1 18627 KachelY + 1 13758 0.43008986 0.48350828 24.642334 27.702984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48367804-0.48350828) × R
    0.000169759999999963 × 6371000     		dl = 1081.54095999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48367804-0.48350828) × R
    0.000169759999999963 × 6371000     		dr = 1081.54095999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42989812-0.43008986) × cos(0.48367804) × R
    0.000191739999999996 × 0.885290484712644 × 6371000     		do = 1081.44920191969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42989812-0.43008986) × cos(0.48350828) × R
    0.000191739999999996 × 0.885369416882763 × 6371000     		du = 1081.54562352802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48367804)-sin(0.48350828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885290484712644-0.885369416882763)×R²
    abs(0.43008986-0.42989812)×7.89321701196721e-05×R²
    0.000191739999999996×7.89321701196721e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.89321701196721e-05×40589641000000     		ar = 1169683.75280371m²