Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18625 / 19420
↖ ↑ ↗
← S 31.615966°
E 24.620361°		 ← 1 040.32 m → S 31.615966°
E 24.631348°		 →
↑
1 040.26 m
↓
↑
1 040.26 m
↓
S 31.625321°
E 24.620361°		 ← 1 040.22 m →
1 082 150 m²		 S 31.625321°
E 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568405151367188 y=0.592666625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568405151367188 × 215)
    floor (0.568405151367188 × 32768)
    floor (18625.5)     		tx = 18625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592666625976562 × 215)
    floor (0.592666625976562 × 32768)
    floor (19420.5)     		ty = 19420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18625 / 19420 ti = "15/18625/19420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18625/19420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18625 ÷ 215
    18625 ÷ 32768     		x = 0.568389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19420 ÷ 215
    19420 ÷ 32768     		y = 0.5926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568389892578125 × 2 - 1) × π
    0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42970637} λ = 0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582145708985962))-π/2
    2×atan(0.558698275592471)-π/2
    2×0.509496812509593-π/2
    1.01899362501919-1.57079632675     		φ = -0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18625 KachelY 19420 0.42970637 -0.55180270 24.620361 -31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 18626 KachelY 19420 0.42989812 -0.55180270 24.631348 -31.615966
    Unten links KachelX 18625 KachelY + 1 19421 0.42970637 -0.55196598 24.620361 -31.625321
    Unten rechts KachelX + 1 18626 KachelY + 1 19421 0.42989812 -0.55196598 24.631348 -31.625321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55180270--0.55196598) × R
    0.000163279999999988 × 6371000     		dl = 1040.25687999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55180270--0.55196598) × R
    0.000163279999999988 × 6371000     		dr = 1040.25687999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42970637-0.42989812) × cos(-0.55180270) × R
    0.000191749999999991 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 1040.32463863351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42970637-0.42989812) × cos(-0.55196598) × R
    0.000191749999999991 × 0.851495282547043 × 6371000     		du = 1040.22005834926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55180270)-sin(-0.55196598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.851495282547043)×R²
    abs(0.42989812-0.42970637)×8.56065194841937e-05×R²
    0.000191749999999991×8.56065194841937e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.56065194841937e-05×40589641000000     		ar = 1082150.46999592m²