Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18625 / 13307
↖ ↑ ↗
← N 31.998760°
E 24.620361°		 ← 1 036.02 m → N 31.998760°
E 24.631348°		 →
↑
1 036.05 m
↓
↑
1 036.05 m
↓
N 31.989442°
E 24.620361°		 ← 1 036.13 m →
1 073 428 m²		 N 31.989442°
E 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568405151367188 y=0.406112670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568405151367188 × 215)
    floor (0.568405151367188 × 32768)
    floor (18625.5)     		tx = 18625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406112670898438 × 215)
    floor (0.406112670898438 × 32768)
    floor (13307.5)     		ty = 13307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18625 / 13307 ti = "15/18625/13307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18625/13307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18625 ÷ 215
    18625 ÷ 32768     		x = 0.568389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13307 ÷ 215
    13307 ÷ 32768     		y = 0.406097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568389892578125 × 2 - 1) × π
    0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406097412109375 × 2 - 1) × π
    0.18780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.590007360523651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42970637} λ = 0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590007360523651))-π/2
    2×atan(1.80400169374612)-π/2
    2×1.06464001718723-π/2
    2.12928003437447-1.57079632675     		φ = 0.55848371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55848371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.998760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18625 KachelY 13307 0.42970637 0.55848371 24.620361 31.998760
    Oben rechts KachelX + 1 18626 KachelY 13307 0.42989812 0.55848371 24.631348 31.998760
    Unten links KachelX 18625 KachelY + 1 13308 0.42970637 0.55832109 24.620361 31.989442
    Unten rechts KachelX + 1 18626 KachelY + 1 13308 0.42989812 0.55832109 24.631348 31.989442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55848371-0.55832109) × R
    0.000162620000000002 × 6371000     		dl = 1036.05202000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55848371-0.55832109) × R
    0.000162620000000002 × 6371000     		dr = 1036.05202000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42970637-0.42989812) × cos(0.55848371) × R
    0.000191749999999991 × 0.848059569047921 × 6371000     		do = 1036.02285588697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42970637-0.42989812) × cos(0.55832109) × R
    0.000191749999999991 × 0.848145730318861 × 6371000     		du = 1036.12811387738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55848371)-sin(0.55832109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848059569047921-0.848145730318861)×R²
    abs(0.42989812-0.42970637)×8.61612709394111e-05×R²
    0.000191749999999991×8.61612709394111e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.61612709394111e-05×40589641000000     		ar = 1073428.10135015m²