Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18624 / 13760
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
E 24.609375°		 ← 1 081.79 m → N 27.683528°
E 24.620361°		 →
↑
1 081.80 m
↓
↑
1 081.80 m
↓
N 27.673799°
E 24.609375°		 ← 1 081.89 m →
1 170 333 m²		 N 27.673799°
E 24.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568374633789062 y=0.419937133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568374633789062 × 215)
    floor (0.568374633789062 × 32768)
    floor (18624.5)     		tx = 18624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419937133789062 × 215)
    floor (0.419937133789062 × 32768)
    floor (13760.5)     		ty = 13760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18624 / 13760 ti = "15/18624/13760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18624/13760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18624 ÷ 215
    18624 ÷ 32768     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13760 ÷ 215
    13760 ÷ 32768     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18624 KachelY 13760 0.42951462 0.48316871 24.609375 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 18625 KachelY 13760 0.42970637 0.48316871 24.620361 27.683528
    Unten links KachelX 18624 KachelY + 1 13761 0.42951462 0.48299891 24.609375 27.673799
    Unten rechts KachelX + 1 18625 KachelY + 1 13761 0.42970637 0.48299891 24.620361 27.673799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.48299891) × R
    0.000169799999999998 × 6371000     		dl = 1081.79579999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.48299891) × R
    0.000169799999999998 × 6371000     		dr = 1081.79579999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.42970637) × cos(0.48316871) × R
    0.000191749999999991 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 1081.79481855259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.42970637) × cos(0.48299891) × R
    0.000191749999999991 × 0.885606102093485 × 6371000     		du = 1081.89117435686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.48299891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.885606102093485)×R²
    abs(0.42970637-0.42951462)×7.88741883241961e-05×R²
    0.000191749999999991×7.88741883241961e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.88741883241961e-05×40589641000000     		ar = 1170333.21263597m²