Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18623 / 14142
↖ ↑ ↗
← N 23.905927°
E 24.598389°		 ← 1 116.84 m → N 23.905927°
E 24.609375°		 →
↑
1 116.90 m
↓
↑
1 116.90 m
↓
N 23.895883°
E 24.598389°		 ← 1 116.92 m →
1 247 444 m²		 N 23.895883°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568344116210938 y=0.431594848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568344116210938 × 215)
    floor (0.568344116210938 × 32768)
    floor (18623.5)     		tx = 18623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431594848632812 × 215)
    floor (0.431594848632812 × 32768)
    floor (14142.5)     		ty = 14142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18623 / 14142 ti = "15/18623/14142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18623/14142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18623 ÷ 215
    18623 ÷ 32768     		x = 0.568328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14142 ÷ 215
    14142 ÷ 32768     		y = 0.43157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568328857421875 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43157958984375 × 2 - 1) × π
    0.1368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.429898115792664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42932287} λ = 0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429898115792664))-π/2
    2×atan(1.53710090926242)-π/2
    2×0.994016731203238-π/2
    1.98803346240648-1.57079632675     		φ = 0.41723714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41723714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.905927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18623 KachelY 14142 0.42932287 0.41723714 24.598389 23.905927
    Oben rechts KachelX + 1 18624 KachelY 14142 0.42951462 0.41723714 24.609375 23.905927
    Unten links KachelX 18623 KachelY + 1 14143 0.42932287 0.41706183 24.598389 23.895883
    Unten rechts KachelX + 1 18624 KachelY + 1 14143 0.42951462 0.41706183 24.609375 23.895883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41723714-0.41706183) × R
    0.000175309999999984 × 6371000     		dl = 1116.9000099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41723714-0.41706183) × R
    0.000175309999999984 × 6371000     		dr = 1116.9000099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42932287-0.42951462) × cos(0.41723714) × R
    0.000191749999999991 × 0.914212038942139 × 6371000     		do = 1116.83730959419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42932287-0.42951462) × cos(0.41706183) × R
    0.000191749999999991 × 0.914283066845009 × 6371000     		du = 1116.92408006818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41723714)-sin(0.41706183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914212038942139-0.914283066845009)×R²
    abs(0.42951462-0.42932287)×7.10279028708349e-05×R²
    0.000191749999999991×7.10279028708349e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.10279028708349e-05×40589641000000     		ar = 1247444.06242079m²