Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18622 / 19657
↖ ↑ ↗
← S 33.806538°
E 24.587403°		 ← 1 015.03 m → S 33.806538°
E 24.598389°		 →
↑
1 015.03 m
↓
↑
1 015.03 m
↓
S 33.815667°
E 24.587403°		 ← 1 014.92 m →
1 030 231 m²		 S 33.815667°
E 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568313598632812 y=0.599899291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568313598632812 × 215)
    floor (0.568313598632812 × 32768)
    floor (18622.5)     		tx = 18622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599899291992188 × 215)
    floor (0.599899291992188 × 32768)
    floor (19657.5)     		ty = 19657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18622 / 19657 ti = "15/18622/19657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18622/19657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18622 ÷ 215
    18622 ÷ 32768     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19657 ÷ 215
    19657 ÷ 32768     		y = 0.599884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.19976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.627589889825775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627589889825775))-π/2
    2×atan(0.533876953983263)-π/2
    2×0.490380464785607-π/2
    0.980760929571214-1.57079632675     		φ = -0.59003540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59003540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.806538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18622 KachelY 19657 0.42913113 -0.59003540 24.587403 -33.806538
    Oben rechts KachelX + 1 18623 KachelY 19657 0.42932287 -0.59003540 24.598389 -33.806538
    Unten links KachelX 18622 KachelY + 1 19658 0.42913113 -0.59019472 24.587403 -33.815667
    Unten rechts KachelX + 1 18623 KachelY + 1 19658 0.42932287 -0.59019472 24.598389 -33.815667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59003540--0.59019472) × R
    0.000159319999999963 × 6371000     		dl = 1015.02771999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59003540--0.59019472) × R
    0.000159319999999963 × 6371000     		dr = 1015.02771999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(-0.59003540) × R
    0.000191739999999996 × 0.830920983399306 × 6371000     		do = 1015.03274899332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(-0.59019472) × R
    0.000191739999999996 × 0.830832328729544 × 6371000     		du = 1014.92445061723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59003540)-sin(-0.59019472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830920983399306-0.830832328729544)×R²
    abs(0.42932287-0.42913113)×8.86546697619339e-05×R²
    0.000191739999999996×8.86546697619339e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.86546697619339e-05×40589641000000     		ar = 1030231.41618872m²