Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18622 / 19310
↖ ↑ ↗
← S 30.581179°
E 24.587403°		 ← 1 051.67 m → S 30.581179°
E 24.598389°		 →
↑
1 051.66 m
↓
↑
1 051.66 m
↓
S 30.590637°
E 24.587403°		 ← 1 051.56 m →
1 105 942 m²		 S 30.590637°
E 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568313598632812 y=0.589309692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568313598632812 × 215)
    floor (0.568313598632812 × 32768)
    floor (18622.5)     		tx = 18622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589309692382812 × 215)
    floor (0.589309692382812 × 32768)
    floor (19310.5)     		ty = 19310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18622 / 19310 ti = "15/18622/19310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18622/19310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18622 ÷ 215
    18622 ÷ 32768     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19310 ÷ 215
    19310 ÷ 32768     		y = 0.58929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.561053473153137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561053473153137))-π/2
    2×atan(0.570607627289479)-π/2
    2×0.518527029812352-π/2
    1.0370540596247-1.57079632675     		φ = -0.53374227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53374227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.581179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18622 KachelY 19310 0.42913113 -0.53374227 24.587403 -30.581179
    Oben rechts KachelX + 1 18623 KachelY 19310 0.42932287 -0.53374227 24.598389 -30.581179
    Unten links KachelX 18622 KachelY + 1 19311 0.42913113 -0.53390734 24.587403 -30.590637
    Unten rechts KachelX + 1 18623 KachelY + 1 19311 0.42932287 -0.53390734 24.598389 -30.590637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53374227--0.53390734) × R
    0.000165069999999989 × 6371000     		dl = 1051.66096999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53374227--0.53390734) × R
    0.000165069999999989 × 6371000     		dr = 1051.66096999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(-0.53374227) × R
    0.000191739999999996 × 0.86090919105339 × 6371000     		do = 1051.66560995199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(-0.53390734) × R
    0.000191739999999996 × 0.860825198534213 × 6371000     		du = 1051.56300674501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53374227)-sin(-0.53390734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86090919105339-0.860825198534213)×R²
    abs(0.42932287-0.42913113)×8.3992519177456e-05×R²
    0.000191739999999996×8.3992519177456e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.3992519177456e-05×40589641000000     		ar = 1105941.72609528m²