Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18622 / 14138
↖ ↑ ↗
← N 23.946096°
E 24.587403°		 ← 1 116.43 m → N 23.946096°
E 24.598389°		 →
↑
1 116.52 m
↓
↑
1 116.52 m
↓
N 23.936055°
E 24.587403°		 ← 1 116.52 m →
1 246 564 m²		 N 23.936055°
E 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568313598632812 y=0.431472778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568313598632812 × 215)
    floor (0.568313598632812 × 32768)
    floor (18622.5)     		tx = 18622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431472778320312 × 215)
    floor (0.431472778320312 × 32768)
    floor (14138.5)     		ty = 14138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18622 / 14138 ti = "15/18622/14138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18622/14138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18622 ÷ 215
    18622 ÷ 32768     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14138 ÷ 215
    14138 ÷ 32768     		y = 0.43145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.430665106186584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430665106186584))-π/2
    2×atan(1.53828030312838)-π/2
    2×0.994367272622031-π/2
    1.98873454524406-1.57079632675     		φ = 0.41793822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41793822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.946096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18622 KachelY 14138 0.42913113 0.41793822 24.587403 23.946096
    Oben rechts KachelX + 1 18623 KachelY 14138 0.42932287 0.41793822 24.598389 23.946096
    Unten links KachelX 18622 KachelY + 1 14139 0.42913113 0.41776297 24.587403 23.936055
    Unten rechts KachelX + 1 18623 KachelY + 1 14139 0.42932287 0.41776297 24.598389 23.936055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41793822-0.41776297) × R
    0.000175250000000016 × 6371000     		dl = 1116.5177500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41793822-0.41776297) × R
    0.000175250000000016 × 6371000     		dr = 1116.5177500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(0.41793822) × R
    0.000191739999999996 × 0.913927711322595 × 6371000     		do = 1116.43173747984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(0.41776297) × R
    0.000191739999999996 × 0.913998827231809 × 6371000     		du = 1116.51861093504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41793822)-sin(0.41776297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913927711322595-0.913998827231809)×R²
    abs(0.42932287-0.42913113)×7.11159092140479e-05×R²
    0.000191739999999996×7.11159092140479e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.11159092140479e-05×40589641000000     		ar = 1246564.35262747m²