Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18622 / 13306
↖ ↑ ↗
← N 32.008076°
E 24.587403°		 ← 1 035.86 m → N 32.008076°
E 24.598389°		 →
↑
1 035.92 m
↓
↑
1 035.92 m
↓
N 31.998760°
E 24.587403°		 ← 1 035.97 m →
1 073 131 m²		 N 31.998760°
E 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568313598632812 y=0.406082153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568313598632812 × 215)
    floor (0.568313598632812 × 32768)
    floor (18622.5)     		tx = 18622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406082153320312 × 215)
    floor (0.406082153320312 × 32768)
    floor (13306.5)     		ty = 13306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18622 / 13306 ti = "15/18622/13306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18622/13306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18622 ÷ 215
    18622 ÷ 32768     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13306 ÷ 215
    13306 ÷ 32768     		y = 0.40606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40606689453125 × 2 - 1) × π
    0.1878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.590199108122131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590199108122131))-π/2
    2×atan(1.80434763990467)-π/2
    2×1.06472131974933-π/2
    2.12944263949866-1.57079632675     		φ = 0.55864631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55864631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.008076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18622 KachelY 13306 0.42913113 0.55864631 24.587403 32.008076
    Oben rechts KachelX + 1 18623 KachelY 13306 0.42932287 0.55864631 24.598389 32.008076
    Unten links KachelX 18622 KachelY + 1 13307 0.42913113 0.55848371 24.587403 31.998760
    Unten rechts KachelX + 1 18623 KachelY + 1 13307 0.42932287 0.55848371 24.598389 31.998760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55864631-0.55848371) × R
    0.000162600000000013 × 6371000     		dl = 1035.92460000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55864631-0.55848371) × R
    0.000162600000000013 × 6371000     		dr = 1035.92460000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(0.55864631) × R
    0.000191739999999996 × 0.847973395950598 × 6371000     		do = 1035.86355906396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42932287) × cos(0.55848371) × R
    0.000191739999999996 × 0.848059569047921 × 6371000     		du = 1035.96882601186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55864631)-sin(0.55848371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847973395950598-0.848059569047921)×R²
    abs(0.42932287-0.42913113)×8.61730973229502e-05×R²
    0.000191739999999996×8.61730973229502e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.61730973229502e-05×40589641000000     		ar = 1073131.06975246m²