Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18621 / 13476
↖ ↑ ↗
← N 30.410782°
E 24.576416°		 ← 1 053.56 m → N 30.410782°
E 24.587403°		 →
↑
1 053.57 m
↓
↑
1 053.57 m
↓
N 30.401307°
E 24.576416°		 ← 1 053.67 m →
1 110 060 m²		 N 30.401307°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568283081054688 y=0.411270141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568283081054688 × 215)
    floor (0.568283081054688 × 32768)
    floor (18621.5)     		tx = 18621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411270141601562 × 215)
    floor (0.411270141601562 × 32768)
    floor (13476.5)     		ty = 13476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18621 / 13476 ti = "15/18621/13476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18621/13476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18621 ÷ 215
    18621 ÷ 32768     		x = 0.568267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13476 ÷ 215
    13476 ÷ 32768     		y = 0.4112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568267822265625 × 2 - 1) × π
    0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4112548828125 × 2 - 1) × π
    0.177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.557602016380493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42893938} λ = 0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557602016380493))-π/2
    2×atan(1.7464794457646)-π/2
    2×1.05078229856847-π/2
    2.10156459713695-1.57079632675     		φ = 0.53076827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53076827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.410782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18621 KachelY 13476 0.42893938 0.53076827 24.576416 30.410782
    Oben rechts KachelX + 1 18622 KachelY 13476 0.42913113 0.53076827 24.587403 30.410782
    Unten links KachelX 18621 KachelY + 1 13477 0.42893938 0.53060290 24.576416 30.401307
    Unten rechts KachelX + 1 18622 KachelY + 1 13477 0.42913113 0.53060290 24.587403 30.401307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53076827-0.53060290) × R
    0.000165370000000054 × 6371000     		dl = 1053.57227000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53076827-0.53060290) × R
    0.000165370000000054 × 6371000     		dr = 1053.57227000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42893938-0.42913113) × cos(0.53076827) × R
    0.000191750000000046 × 0.862418429821831 × 6371000     		do = 1053.56420379397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42893938-0.42913113) × cos(0.53060290) × R
    0.000191750000000046 × 0.862502127671633 × 6371000     		du = 1053.66645237243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53076827)-sin(0.53060290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862418429821831-0.862502127671633)×R²
    abs(0.42913113-0.42893938)×8.36978498016672e-05×R²
    0.000191750000000046×8.36978498016672e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.36978498016672e-05×40589641000000     		ar = 1110059.89544561m²