Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18620 / 19401
↖ ↑ ↗
← S 31.438037°
E 24.565430°		 ← 1 042.31 m → S 31.438037°
E 24.576416°		 →
↑
1 042.23 m
↓
↑
1 042.23 m
↓
S 31.447410°
E 24.565430°		 ← 1 042.20 m →
1 086 273 m²		 S 31.447410°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568252563476562 y=0.592086791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568252563476562 × 215)
    floor (0.568252563476562 × 32768)
    floor (18620.5)     		tx = 18620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592086791992188 × 215)
    floor (0.592086791992188 × 32768)
    floor (19401.5)     		ty = 19401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18620 / 19401 ti = "15/18620/19401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18620/19401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18620 ÷ 215
    18620 ÷ 32768     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19401 ÷ 215
    19401 ÷ 32768     		y = 0.592071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.18414306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578502504614838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578502504614838))-π/2
    2×atan(0.560737439882903)-π/2
    2×0.511049533886806-π/2
    1.02209906777361-1.57079632675     		φ = -0.54869726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54869726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.438037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18620 KachelY 19401 0.42874763 -0.54869726 24.565430 -31.438037
    Oben rechts KachelX + 1 18621 KachelY 19401 0.42893938 -0.54869726 24.576416 -31.438037
    Unten links KachelX 18620 KachelY + 1 19402 0.42874763 -0.54886085 24.565430 -31.447410
    Unten rechts KachelX + 1 18621 KachelY + 1 19402 0.42893938 -0.54886085 24.576416 -31.447410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54869726--0.54886085) × R
    0.000163589999999991 × 6371000     		dl = 1042.23188999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54869726--0.54886085) × R
    0.000163589999999991 × 6371000     		dr = 1042.23188999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(-0.54869726) × R
    0.000191749999999991 × 0.853204724004508 × 6371000     		do = 1042.30837912927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(-0.54886085) × R
    0.000191749999999991 × 0.85311938794298 × 6371000     		du = 1042.20412924707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54869726)-sin(-0.54886085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853204724004508-0.85311938794298)×R²
    abs(0.42893938-0.42874763)×8.53360615279408e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53360615279408e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53360615279408e-05×40589641000000     		ar = 1086272.70808968m²