Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18620 / 19376
↖ ↑ ↗
← S 31.203405°
E 24.565430°		 ← 1 044.91 m → S 31.203405°
E 24.576416°		 →
↑
1 044.84 m
↓
↑
1 044.84 m
↓
S 31.212801°
E 24.565430°		 ← 1 044.81 m →
1 091 713 m²		 S 31.212801°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568252563476562 y=0.591323852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568252563476562 × 215)
    floor (0.568252563476562 × 32768)
    floor (18620.5)     		tx = 18620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591323852539062 × 215)
    floor (0.591323852539062 × 32768)
    floor (19376.5)     		ty = 19376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18620 / 19376 ti = "15/18620/19376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18620/19376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18620 ÷ 215
    18620 ÷ 32768     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19376 ÷ 215
    19376 ÷ 32768     		y = 0.59130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.573708814652832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573708814652832))-π/2
    2×atan(0.563431894349698)-π/2
    2×0.513097086291157-π/2
    1.02619417258231-1.57079632675     		φ = -0.54460215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54460215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.203405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18620 KachelY 19376 0.42874763 -0.54460215 24.565430 -31.203405
    Oben rechts KachelX + 1 18621 KachelY 19376 0.42893938 -0.54460215 24.576416 -31.203405
    Unten links KachelX 18620 KachelY + 1 19377 0.42874763 -0.54476615 24.565430 -31.212801
    Unten rechts KachelX + 1 18621 KachelY + 1 19377 0.42893938 -0.54476615 24.576416 -31.212801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54460215--0.54476615) × R
    0.000163999999999942 × 6371000     		dl = 1044.84399999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54460215--0.54476615) × R
    0.000163999999999942 × 6371000     		dr = 1044.84399999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(-0.54460215) × R
    0.000191749999999991 × 0.855333475735648 × 6371000     		do = 1044.90894579754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(-0.54476615) × R
    0.000191749999999991 × 0.855248499468221 × 6371000     		du = 1044.80513545393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54460215)-sin(-0.54476615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855333475735648-0.855248499468221)×R²
    abs(0.42893938-0.42874763)×8.49762674267618e-05×R²
    0.000191749999999991×8.49762674267618e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.49762674267618e-05×40589641000000     		ar = 1091712.61220195m²