Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18620 / 19116
↖ ↑ ↗
← S 28.729131°
E 24.565430°		 ← 1 071.26 m → S 28.729131°
E 24.576416°		 →
↑
1 071.16 m
↓
↑
1 071.16 m
↓
S 28.738764°
E 24.565430°		 ← 1 071.16 m →
1 147 432 m²		 S 28.738764°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568252563476562 y=0.583389282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568252563476562 × 215)
    floor (0.568252563476562 × 32768)
    floor (18620.5)     		tx = 18620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583389282226562 × 215)
    floor (0.583389282226562 × 32768)
    floor (19116.5)     		ty = 19116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18620 / 19116 ti = "15/18620/19116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18620/19116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18620 ÷ 215
    18620 ÷ 32768     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19116 ÷ 215
    19116 ÷ 32768     		y = 0.5833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.523854439047974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523854439047974))-π/2
    2×atan(0.592233415393434)-π/2
    2×0.53468920431855-π/2
    1.0693784086371-1.57079632675     		φ = -0.50141792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50141792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.729131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18620 KachelY 19116 0.42874763 -0.50141792 24.565430 -28.729131
    Oben rechts KachelX + 1 18621 KachelY 19116 0.42893938 -0.50141792 24.576416 -28.729131
    Unten links KachelX 18620 KachelY + 1 19117 0.42874763 -0.50158605 24.565430 -28.738764
    Unten rechts KachelX + 1 18621 KachelY + 1 19117 0.42893938 -0.50158605 24.576416 -28.738764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50141792--0.50158605) × R
    0.000168130000000044 × 6371000     		dl = 1071.15623000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50141792--0.50158605) × R
    0.000168130000000044 × 6371000     		dr = 1071.15623000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(-0.50141792) × R
    0.000191749999999991 × 0.876901892869998 × 6371000     		do = 1071.25777072923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(-0.50158605) × R
    0.000191749999999991 × 0.876821065530476 × 6371000     		du = 1071.1590288788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50141792)-sin(-0.50158605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876901892869998-0.876821065530476)×R²
    abs(0.42893938-0.42874763)×8.08273395221937e-05×R²
    0.000191749999999991×8.08273395221937e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.08273395221937e-05×40589641000000     		ar = 1147431.55378179m²