Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18620 / 13452
↖ ↑ ↗
← N 30.637912°
E 24.565430°		 ← 1 051.10 m → N 30.637912°
E 24.576416°		 →
↑
1 051.15 m
↓
↑
1 051.15 m
↓
N 30.628459°
E 24.565430°		 ← 1 051.21 m →
1 104 924 m²		 N 30.628459°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568252563476562 y=0.410537719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568252563476562 × 215)
    floor (0.568252563476562 × 32768)
    floor (18620.5)     		tx = 18620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410537719726562 × 215)
    floor (0.410537719726562 × 32768)
    floor (13452.5)     		ty = 13452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18620 / 13452 ti = "15/18620/13452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18620/13452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18620 ÷ 215
    18620 ÷ 32768     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13452 ÷ 215
    13452 ÷ 32768     		y = 0.4105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4105224609375 × 2 - 1) × π
    0.178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.562203958744019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562203958744019))-π/2
    2×atan(1.75453516527462)-π/2
    2×1.052764383806-π/2
    2.105528767612-1.57079632675     		φ = 0.53473244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53473244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.637912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18620 KachelY 13452 0.42874763 0.53473244 24.565430 30.637912
    Oben rechts KachelX + 1 18621 KachelY 13452 0.42893938 0.53473244 24.576416 30.637912
    Unten links KachelX 18620 KachelY + 1 13453 0.42874763 0.53456745 24.565430 30.628459
    Unten rechts KachelX + 1 18621 KachelY + 1 13453 0.42893938 0.53456745 24.576416 30.628459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53473244-0.53456745) × R
    0.00016498999999992 × 6371000     		dl = 1051.15128999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53473244-0.53456745) × R
    0.00016498999999992 × 6371000     		dr = 1051.15128999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(0.53473244) × R
    0.000191749999999991 × 0.86040501154903 × 6371000     		do = 1051.10453300495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42893938) × cos(0.53456745) × R
    0.000191749999999991 × 0.860489080531569 × 6371000     		du = 1051.20723497372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53473244)-sin(0.53456745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86040501154903-0.860489080531569)×R²
    abs(0.42893938-0.42874763)×8.40689825380991e-05×R²
    0.000191749999999991×8.40689825380991e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.40689825380991e-05×40589641000000     		ar = 1104923.86595201m²