Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1862 / 2662
↖ ↑ ↗
← S 47.398349°
W 16.347656°		 ← 6 615.31 m → S 47.398349°
W 16.259766°		 →
↑
6 611.57 m
↓
↑
6 611.57 m
↓
S 47.457808°
W 16.347656°		 ← 6 607.84 m →
43 712 872 m²		 S 47.457808°
W 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4547119140625 y=0.6500244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4547119140625 × 212)
    floor (0.4547119140625 × 4096)
    floor (1862.5)     		tx = 1862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6500244140625 × 212)
    floor (0.6500244140625 × 4096)
    floor (2662.5)     		ty = 2662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1862 / 2662 ti = "12/1862/2662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1862/2662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1862 ÷ 212
    1862 ÷ 4096     		x = 0.45458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2662 ÷ 212
    2662 ÷ 4096     		y = 0.64990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28532043} λ = -0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941864203734863))-π/2
    2×atan(0.389900303833094)-π/2
    2×0.371769536628414-π/2
    0.743539073256829-1.57079632675     		φ = -0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1862 KachelY 2662 -0.28532043 -0.82725725 -16.347656 -47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 1863 KachelY 2662 -0.28378645 -0.82725725 -16.259766 -47.398349
    Unten links KachelX 1862 KachelY + 1 2663 -0.28532043 -0.82829501 -16.347656 -47.457808
    Unten rechts KachelX + 1 1863 KachelY + 1 2663 -0.28378645 -0.82829501 -16.259766 -47.457808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82725725--0.82829501) × R
    0.00103776 × 6371000     		dl = 6611.56895999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82725725--0.82829501) × R
    0.00103776 × 6371000     		dr = 6611.56895999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28532043--0.28378645) × cos(-0.82725725) × R
    0.00153397999999999 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 6615.3070597665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28532043--0.28378645) × cos(-0.82829501) × R
    0.00153397999999999 × 0.676132944141508 × 6371000     		du = 6607.8381893908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82725725)-sin(-0.82829501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.676132944141508)×R²
    abs(-0.28378645--0.28532043)×0.000764236225493375×R²
    0.00153397999999999×0.000764236225493375×6371000²
    0.00153397999999999×0.000764236225493375×40589641000000     		ar = 43712872.2644858m²