Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1862 / 1862
↖ ↑ ↗
← S 81.255032°
E147.304687°		 ← 2 971.70 m → S 81.255032°
E147.480469°		 →
↑
2 967.17 m
↓
↑
2 967.17 m
↓
S 81.281717°
E147.304687°		 ← 2 962.71 m →
8 804 186 m²		 S 81.281717°
E147.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909423828125 y=0.909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909423828125 × 211)
    floor (0.909423828125 × 2048)
    floor (1862.5)     		tx = 1862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909423828125 × 211)
    floor (0.909423828125 × 2048)
    floor (1862.5)     		ty = 1862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1862 / 1862 ti = "11/1862/1862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1862/1862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1862 ÷ 211
    1862 ÷ 2048     		x = 0.9091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1862 ÷ 211
    1862 ÷ 2048     		y = 0.9091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9091796875 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57095180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9091796875 × 2 - 1) × π
    -0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57095180} λ = 2.57095180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57095180042285))-π/2
    2×atan(0.076462733516113)-π/2
    2×0.0763142396865722-π/2
    0.152628479373144-1.57079632675     		φ = -1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57095180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1862 KachelY 1862 2.57095180 -1.41816785 147.304687 -81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 1863 KachelY 1862 2.57401976 -1.41816785 147.480469 -81.255032
    Unten links KachelX 1862 KachelY + 1 1863 2.57095180 -1.41863358 147.304687 -81.281717
    Unten rechts KachelX + 1 1863 KachelY + 1 1863 2.57401976 -1.41863358 147.480469 -81.281717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41816785--1.41863358) × R
    0.000465730000000164 × 6371000     		dl = 2967.16583000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41816785--1.41863358) × R
    0.000465730000000164 × 6371000     		dr = 2967.16583000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57095180-2.57401976) × cos(-1.41816785) × R
    0.00306796000000009 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 2971.70281603253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57095180-2.57401976) × cos(-1.41863358) × R
    0.00306796000000009 × 0.151576242789862 × 6371000     		du = 2962.70517326437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41816785)-sin(-1.41863358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.151576242789862)×R²
    abs(2.57401976-2.57095180)×0.000460332299369537×R²
    0.00306796000000009×0.000460332299369537×6371000²
    0.00306796000000009×0.000460332299369537×40589641000000     		ar = 8804186.46270441m²