Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18619 / 19374
↖ ↑ ↗
← S 31.184609°
E 24.554443°		 ← 1 045.12 m → S 31.184609°
E 24.565430°		 →
↑
1 045.04 m
↓
↑
1 045.04 m
↓
S 31.194008°
E 24.554443°		 ← 1 045.01 m →
1 092 129 m²		 S 31.194008°
E 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568222045898438 y=0.591262817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568222045898438 × 215)
    floor (0.568222045898438 × 32768)
    floor (18619.5)     		tx = 18619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591262817382812 × 215)
    floor (0.591262817382812 × 32768)
    floor (19374.5)     		ty = 19374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18619 / 19374 ti = "15/18619/19374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18619/19374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18619 ÷ 215
    18619 ÷ 32768     		x = 0.568206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19374 ÷ 215
    19374 ÷ 32768     		y = 0.59124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568206787109375 × 2 - 1) × π
    0.13641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42855588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.1824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.573325319455872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42855588} λ = 0.42855588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573325319455872))-π/2
    2×atan(0.563648009211852)-π/2
    2×0.513261110721346-π/2
    1.02652222144269-1.57079632675     		φ = -0.54427411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42855588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54427411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.184609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18619 KachelY 19374 0.42855588 -0.54427411 24.554443 -31.184609
    Oben rechts KachelX + 1 18620 KachelY 19374 0.42874763 -0.54427411 24.565430 -31.184609
    Unten links KachelX 18619 KachelY + 1 19375 0.42855588 -0.54443814 24.554443 -31.194008
    Unten rechts KachelX + 1 18620 KachelY + 1 19375 0.42874763 -0.54443814 24.565430 -31.194008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54427411--0.54443814) × R
    0.000164029999999982 × 6371000     		dl = 1045.03512999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54427411--0.54443814) × R
    0.000164029999999982 × 6371000     		dr = 1045.03512999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42855588-0.42874763) × cos(-0.54427411) × R
    0.000191749999999991 × 0.855503379964959 × 6371000     		do = 1045.11650747281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42855588-0.42874763) × cos(-0.54443814) × R
    0.000191749999999991 × 0.855418434177401 × 6371000     		du = 1045.0127343646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54427411)-sin(-0.54443814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855503379964959-0.855418434177401)×R²
    abs(0.42874763-0.42855588)×8.49457875579107e-05×R²
    0.000191749999999991×8.49457875579107e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.49457875579107e-05×40589641000000     		ar = 1092129.24442909m²