Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18619 / 13370
↖ ↑ ↗
← N 31.409912°
E 24.554443°		 ← 1 042.62 m → N 31.409912°
E 24.565430°		 →
↑
1 042.68 m
↓
↑
1 042.68 m
↓
N 31.400535°
E 24.554443°		 ← 1 042.73 m →
1 087 172 m²		 N 31.400535°
E 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568222045898438 y=0.408035278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568222045898438 × 215)
    floor (0.568222045898438 × 32768)
    floor (18619.5)     		tx = 18619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408035278320312 × 215)
    floor (0.408035278320312 × 32768)
    floor (13370.5)     		ty = 13370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18619 / 13370 ti = "15/18619/13370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18619/13370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18619 ÷ 215
    18619 ÷ 32768     		x = 0.568206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13370 ÷ 215
    13370 ÷ 32768     		y = 0.40802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568206787109375 × 2 - 1) × π
    0.13641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42855588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40802001953125 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.577927261819397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42855588} λ = 0.42855588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577927261819397))-π/2
    2×atan(1.78234027468129)-π/2
    2×1.05950135616483-π/2
    2.11900271232965-1.57079632675     		φ = 0.54820639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42855588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54820639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.409912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18619 KachelY 13370 0.42855588 0.54820639 24.554443 31.409912
    Oben rechts KachelX + 1 18620 KachelY 13370 0.42874763 0.54820639 24.565430 31.409912
    Unten links KachelX 18619 KachelY + 1 13371 0.42855588 0.54804273 24.554443 31.400535
    Unten rechts KachelX + 1 18620 KachelY + 1 13371 0.42874763 0.54804273 24.565430 31.400535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54820639-0.54804273) × R
    0.00016366000000001 × 6371000     		dl = 1042.67786000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54820639-0.54804273) × R
    0.00016366000000001 × 6371000     		dr = 1042.67786000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42855588-0.42874763) × cos(0.54820639) × R
    0.000191749999999991 × 0.853460647296502 × 6371000     		do = 1042.62102506776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42855588-0.42874763) × cos(0.54804273) × R
    0.000191749999999991 × 0.853545928468811 × 6371000     		du = 1042.72520789514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54820639)-sin(0.54804273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853460647296502-0.853545928468811)×R²
    abs(0.42874763-0.42855588)×8.5281172309104e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5281172309104e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5281172309104e-05×40589641000000     		ar = 1087172.17619952m²