Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18618 / 13449
↖ ↑ ↗
← N 30.666266°
E 24.543457°		 ← 1 050.74 m → N 30.666266°
E 24.554443°		 →
↑
1 050.83 m
↓
↑
1 050.83 m
↓
N 30.656816°
E 24.543457°		 ← 1 050.84 m →
1 104 208 m²		 N 30.656816°
E 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568191528320312 y=0.410446166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568191528320312 × 215)
    floor (0.568191528320312 × 32768)
    floor (18618.5)     		tx = 18618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410446166992188 × 215)
    floor (0.410446166992188 × 32768)
    floor (13449.5)     		ty = 13449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18618 / 13449 ti = "15/18618/13449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18618/13449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18618 ÷ 215
    18618 ÷ 32768     		x = 0.56817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13449 ÷ 215
    13449 ÷ 32768     		y = 0.410430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56817626953125 × 2 - 1) × π
    0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410430908203125 × 2 - 1) × π
    0.17913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.562779201539459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42836414} λ = 0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562779201539459))-π/2
    2×atan(1.75554473933505)-π/2
    2×1.05301181841831-π/2
    2.10602363683662-1.57079632675     		φ = 0.53522731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53522731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.666266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18618 KachelY 13449 0.42836414 0.53522731 24.543457 30.666266
    Oben rechts KachelX + 1 18619 KachelY 13449 0.42855588 0.53522731 24.554443 30.666266
    Unten links KachelX 18618 KachelY + 1 13450 0.42836414 0.53506237 24.543457 30.656816
    Unten rechts KachelX + 1 18619 KachelY + 1 13450 0.42855588 0.53506237 24.554443 30.656816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53522731-0.53506237) × R
    0.000164940000000002 × 6371000     		dl = 1050.83274000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53522731-0.53506237) × R
    0.000164940000000002 × 6371000     		dr = 1050.83274000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42836414-0.42855588) × cos(0.53522731) × R
    0.000191739999999996 × 0.860152715084112 × 6371000     		do = 1050.74151741132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42836414-0.42855588) × cos(0.53506237) × R
    0.000191739999999996 × 0.860236828815917 × 6371000     		du = 1050.84426868867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53522731)-sin(0.53506237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860152715084112-0.860236828815917)×R²
    abs(0.42855588-0.42836414)×8.41137318056129e-05×R²
    0.000191739999999996×8.41137318056129e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.41137318056129e-05×40589641000000     		ar = 1104207.5774793m²