Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18617 / 19403
↖ ↑ ↗
← S 31.456783°
E 24.532471°		 ← 1 042.10 m → S 31.456783°
E 24.543457°		 →
↑
1 042.04 m
↓
↑
1 042.04 m
↓
S 31.466154°
E 24.532471°		 ← 1 042 m →
1 085 856 m²		 S 31.466154°
E 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568161010742188 y=0.592147827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568161010742188 × 215)
    floor (0.568161010742188 × 32768)
    floor (18617.5)     		tx = 18617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592147827148438 × 215)
    floor (0.592147827148438 × 32768)
    floor (19403.5)     		ty = 19403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18617 / 19403 ti = "15/18617/19403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18617/19403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18617 ÷ 215
    18617 ÷ 32768     		x = 0.568145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19403 ÷ 215
    19403 ÷ 32768     		y = 0.592132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568145751953125 × 2 - 1) × π
    0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.18426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.578885999811798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42817239} λ = 0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578885999811798))-π/2
    2×atan(0.560522440996107)-π/2
    2×0.510885950293487-π/2
    1.02177190058697-1.57079632675     		φ = -0.54902443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54902443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.456783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18617 KachelY 19403 0.42817239 -0.54902443 24.532471 -31.456783
    Oben rechts KachelX + 1 18618 KachelY 19403 0.42836414 -0.54902443 24.543457 -31.456783
    Unten links KachelX 18617 KachelY + 1 19404 0.42817239 -0.54918799 24.532471 -31.466154
    Unten rechts KachelX + 1 18618 KachelY + 1 19404 0.42836414 -0.54918799 24.543457 -31.466154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54902443--0.54918799) × R
    0.000163559999999952 × 6371000     		dl = 1042.04075999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54902443--0.54918799) × R
    0.000163559999999952 × 6371000     		dr = 1042.04075999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42817239-0.42836414) × cos(-0.54902443) × R
    0.000191749999999991 × 0.85303403426909 × 6371000     		do = 1042.09985784891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42817239-0.42836414) × cos(-0.54918799) × R
    0.000191749999999991 × 0.852948668209257 × 6371000     		du = 1041.9955713196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54902443)-sin(-0.54918799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85303403426909-0.852948668209257)×R²
    abs(0.42836414-0.42817239)×8.53660598336692e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53660598336692e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53660598336692e-05×40589641000000     		ar = 1085856.19488193m²