Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18616 / 22776
↖ ↑ ↗
← S 57.279043°
E 24.521484°		 ← 660.35 m → S 57.279043°
E 24.532471°		 →
↑
660.29 m
↓
↑
660.29 m
↓
S 57.284981°
E 24.521484°		 ← 660.25 m →
435 991 m²		 S 57.284981°
E 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568130493164062 y=0.695083618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568130493164062 × 215)
    floor (0.568130493164062 × 32768)
    floor (18616.5)     		tx = 18616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.695083618164062 × 215)
    floor (0.695083618164062 × 32768)
    floor (22776.5)     		ty = 22776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18616 / 22776 ti = "15/18616/22776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18616/22776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18616 ÷ 215
    18616 ÷ 32768     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22776 ÷ 215
    22776 ÷ 32768     		y = 0.695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.39013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2256506494856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2256506494856))-π/2
    2×atan(0.293566629193834)-π/2
    2×0.285544219087167-π/2
    0.571088438174334-1.57079632675     		φ = -0.99970789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99970789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.279043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18616 KachelY 22776 0.42798064 -0.99970789 24.521484 -57.279043
    Oben rechts KachelX + 1 18617 KachelY 22776 0.42817239 -0.99970789 24.532471 -57.279043
    Unten links KachelX 18616 KachelY + 1 22777 0.42798064 -0.99981153 24.521484 -57.284981
    Unten rechts KachelX + 1 18617 KachelY + 1 22777 0.42817239 -0.99981153 24.532471 -57.284981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99970789--0.99981153) × R
    0.00010363999999996 × 6371000     		dl = 660.290439999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99970789--0.99981153) × R
    0.00010363999999996 × 6371000     		dr = 660.290439999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(-0.99970789) × R
    0.000191749999999991 × 0.540548084902491 × 6371000     		do = 660.354757029182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(-0.99981153) × R
    0.000191749999999991 × 0.540460888307684 × 6371000     		du = 660.248234246501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99970789)-sin(-0.99981153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540548084902491-0.540460888307684)×R²
    abs(0.42817239-0.42798064)×8.71965948062714e-05×R²
    0.000191749999999991×8.71965948062714e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.71965948062714e-05×40589641000000     		ar = 435990.765477188m²