Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18616 / 14087
↖ ↑ ↗
← N 24.457150°
E 24.521484°		 ← 1 112.02 m → N 24.457150°
E 24.532471°		 →
↑
1 112.06 m
↓
↑
1 112.06 m
↓
N 24.447149°
E 24.521484°		 ← 1 112.11 m →
1 236 683 m²		 N 24.447149°
E 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568130493164062 y=0.429916381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568130493164062 × 215)
    floor (0.568130493164062 × 32768)
    floor (18616.5)     		tx = 18616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429916381835938 × 215)
    floor (0.429916381835938 × 32768)
    floor (14087.5)     		ty = 14087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18616 / 14087 ti = "15/18616/14087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18616/14087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18616 ÷ 215
    18616 ÷ 32768     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14087 ÷ 215
    14087 ÷ 32768     		y = 0.429901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429901123046875 × 2 - 1) × π
    0.14019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.440444233709076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440444233709076))-π/2
    2×atan(1.55339713662922)-π/2
    2×0.998827064543169-π/2
    1.99765412908634-1.57079632675     		φ = 0.42685780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42685780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.457150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18616 KachelY 14087 0.42798064 0.42685780 24.521484 24.457150
    Oben rechts KachelX + 1 18617 KachelY 14087 0.42817239 0.42685780 24.532471 24.457150
    Unten links KachelX 18616 KachelY + 1 14088 0.42798064 0.42668325 24.521484 24.447149
    Unten rechts KachelX + 1 18617 KachelY + 1 14088 0.42817239 0.42668325 24.532471 24.447149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42685780-0.42668325) × R
    0.000174549999999996 × 6371000     		dl = 1112.05804999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42685780-0.42668325) × R
    0.000174549999999996 × 6371000     		dr = 1112.05804999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(0.42685780) × R
    0.000191749999999991 × 0.910271151657765 × 6371000     		do = 1112.02296700777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(0.42668325) × R
    0.000191749999999991 × 0.910343403689266 × 6371000     		du = 1112.11123292535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42685780)-sin(0.42668325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910271151657765-0.910343403689266)×R²
    abs(0.42817239-0.42798064)×7.22520315008524e-05×R²
    0.000191749999999991×7.22520315008524e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.22520315008524e-05×40589641000000     		ar = 1236683.1737979m²