Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18616 / 13813
↖ ↑ ↗
← N 27.166695°
E 24.521484°		 ← 1 086.87 m → N 27.166695°
E 24.532471°		 →
↑
1 086.89 m
↓
↑
1 086.89 m
↓
N 27.156921°
E 24.521484°		 ← 1 086.97 m →
1 181 363 m²		 N 27.156921°
E 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568130493164062 y=0.421554565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568130493164062 × 215)
    floor (0.568130493164062 × 32768)
    floor (18616.5)     		tx = 18616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421554565429688 × 215)
    floor (0.421554565429688 × 32768)
    floor (13813.5)     		ty = 13813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18616 / 13813 ti = "15/18616/13813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18616/13813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18616 ÷ 215
    18616 ÷ 32768     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13813 ÷ 215
    13813 ÷ 32768     		y = 0.421539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421539306640625 × 2 - 1) × π
    0.15692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.492983075692657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492983075692657))-π/2
    2×atan(1.63719281280035)-π/2
    2×1.02247230264824-π/2
    2.04494460529649-1.57079632675     		φ = 0.47414828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47414828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.166695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18616 KachelY 13813 0.42798064 0.47414828 24.521484 27.166695
    Oben rechts KachelX + 1 18617 KachelY 13813 0.42817239 0.47414828 24.532471 27.166695
    Unten links KachelX 18616 KachelY + 1 13814 0.42798064 0.47397768 24.521484 27.156921
    Unten rechts KachelX + 1 18617 KachelY + 1 13814 0.42817239 0.47397768 24.532471 27.156921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47414828-0.47397768) × R
    0.000170599999999965 × 6371000     		dl = 1086.89259999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47414828-0.47397768) × R
    0.000170599999999965 × 6371000     		dr = 1086.89259999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(0.47414828) × R
    0.000191749999999991 × 0.889681923319867 × 6371000     		do = 1086.87035754299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(0.47397768) × R
    0.000191749999999991 × 0.889759803066198 × 6371000     		du = 1086.96549849788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47414828)-sin(0.47397768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889681923319867-0.889759803066198)×R²
    abs(0.42817239-0.42798064)×7.78797463309999e-05×R²
    0.000191749999999991×7.78797463309999e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.78797463309999e-05×40589641000000     		ar = 1181363.055638m²