Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18616 / 13366
↖ ↑ ↗
← N 31.447410°
E 24.521484°		 ← 1 042.20 m → N 31.447410°
E 24.532471°		 →
↑
1 042.23 m
↓
↑
1 042.23 m
↓
N 31.438037°
E 24.521484°		 ← 1 042.31 m →
1 086 273 m²		 N 31.438037°
E 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568130493164062 y=0.407913208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568130493164062 × 215)
    floor (0.568130493164062 × 32768)
    floor (18616.5)     		tx = 18616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407913208007812 × 215)
    floor (0.407913208007812 × 32768)
    floor (13366.5)     		ty = 13366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18616 / 13366 ti = "15/18616/13366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18616/13366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18616 ÷ 215
    18616 ÷ 32768     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13366 ÷ 215
    13366 ÷ 32768     		y = 0.40789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40789794921875 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.578694252213318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578694252213318))-π/2
    2×atan(1.78370783693718)-π/2
    2×1.05982858879588-π/2
    2.11965717759177-1.57079632675     		φ = 0.54886085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54886085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.447410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18616 KachelY 13366 0.42798064 0.54886085 24.521484 31.447410
    Oben rechts KachelX + 1 18617 KachelY 13366 0.42817239 0.54886085 24.532471 31.447410
    Unten links KachelX 18616 KachelY + 1 13367 0.42798064 0.54869726 24.521484 31.438037
    Unten rechts KachelX + 1 18617 KachelY + 1 13367 0.42817239 0.54869726 24.532471 31.438037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54886085-0.54869726) × R
    0.000163589999999991 × 6371000     		dl = 1042.23188999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54886085-0.54869726) × R
    0.000163589999999991 × 6371000     		dr = 1042.23188999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(0.54886085) × R
    0.000191749999999991 × 0.85311938794298 × 6371000     		do = 1042.20412924707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42817239) × cos(0.54869726) × R
    0.000191749999999991 × 0.853204724004508 × 6371000     		du = 1042.30837912927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54886085)-sin(0.54869726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85311938794298-0.853204724004508)×R²
    abs(0.42817239-0.42798064)×8.53360615279408e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53360615279408e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53360615279408e-05×40589641000000     		ar = 1086272.70808968m²