Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18615 / 13367
↖ ↑ ↗
← N 31.438037°
E 24.510498°		 ← 1 042.31 m → N 31.438037°
E 24.521484°		 →
↑
1 042.36 m
↓
↑
1 042.36 m
↓
N 31.428663°
E 24.510498°		 ← 1 042.41 m →
1 086 514 m²		 N 31.428663°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568099975585938 y=0.407943725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568099975585938 × 215)
    floor (0.568099975585938 × 32768)
    floor (18615.5)     		tx = 18615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407943725585938 × 215)
    floor (0.407943725585938 × 32768)
    floor (13367.5)     		ty = 13367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18615 / 13367 ti = "15/18615/13367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18615/13367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18615 ÷ 215
    18615 ÷ 32768     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13367 ÷ 215
    13367 ÷ 32768     		y = 0.407928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407928466796875 × 2 - 1) × π
    0.18414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.578502504614838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578502504614838))-π/2
    2×atan(1.78336584803188)-π/2
    2×1.05974679290809-π/2
    2.11949358581618-1.57079632675     		φ = 0.54869726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54869726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.438037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18615 KachelY 13367 0.42778889 0.54869726 24.510498 31.438037
    Oben rechts KachelX + 1 18616 KachelY 13367 0.42798064 0.54869726 24.521484 31.438037
    Unten links KachelX 18615 KachelY + 1 13368 0.42778889 0.54853365 24.510498 31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 18616 KachelY + 1 13368 0.42798064 0.54853365 24.521484 31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54869726-0.54853365) × R
    0.000163609999999981 × 6371000     		dl = 1042.35930999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54869726-0.54853365) × R
    0.000163609999999981 × 6371000     		dr = 1042.35930999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42798064) × cos(0.54869726) × R
    0.000191750000000046 × 0.853204724004508 × 6371000     		do = 1042.30837912957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42798064) × cos(0.54853365) × R
    0.000191750000000046 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 1042.41261385799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54869726)-sin(0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853204724004508-0.853290047661569)×R²
    abs(0.42798064-0.42778889)×8.53236570607097e-05×R²
    0.000191750000000046×8.53236570607097e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.53236570607097e-05×40589641000000     		ar = 1086514.1703196m²