Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18615 / 13347
↖ ↑ ↗
← N 31.625321°
E 24.510498°		 ← 1 040.22 m → N 31.625321°
E 24.521484°		 →
↑
1 040.26 m
↓
↑
1 040.26 m
↓
N 31.615966°
E 24.510498°		 ← 1 040.32 m →
1 082 150 m²		 N 31.615966°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568099975585938 y=0.407333374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568099975585938 × 215)
    floor (0.568099975585938 × 32768)
    floor (18615.5)     		tx = 18615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407333374023438 × 215)
    floor (0.407333374023438 × 32768)
    floor (13347.5)     		ty = 13347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18615 / 13347 ti = "15/18615/13347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18615/13347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18615 ÷ 215
    18615 ÷ 32768     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13347 ÷ 215
    13347 ÷ 32768     		y = 0.407318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407318115234375 × 2 - 1) × π
    0.18536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.582337456584442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582337456584442))-π/2
    2×atan(1.79021810103597)-π/2
    2×1.0613811544768-π/2
    2.1227623089536-1.57079632675     		φ = 0.55196598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55196598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.625321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18615 KachelY 13347 0.42778889 0.55196598 24.510498 31.625321
    Oben rechts KachelX + 1 18616 KachelY 13347 0.42798064 0.55196598 24.521484 31.625321
    Unten links KachelX 18615 KachelY + 1 13348 0.42778889 0.55180270 24.510498 31.615966
    Unten rechts KachelX + 1 18616 KachelY + 1 13348 0.42798064 0.55180270 24.521484 31.615966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55196598-0.55180270) × R
    0.000163279999999988 × 6371000     		dl = 1040.25687999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55196598-0.55180270) × R
    0.000163279999999988 × 6371000     		dr = 1040.25687999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42798064) × cos(0.55196598) × R
    0.000191750000000046 × 0.851495282547043 × 6371000     		do = 1040.22005834956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42798064) × cos(0.55180270) × R
    0.000191750000000046 × 0.851580889066527 × 6371000     		du = 1040.32463863382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55196598)-sin(0.55180270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851495282547043-0.851580889066527)×R²
    abs(0.42798064-0.42778889)×8.56065194841937e-05×R²
    0.000191750000000046×8.56065194841937e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.56065194841937e-05×40589641000000     		ar = 1082150.46999623m²