Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18614 / 51349
↖ ↑ ↗
← S 70.882489°
W 77.750244°		 ← 200.04 m → S 70.882489°
W 77.744751°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
S 70.884288°
W 77.750244°		 ← 200.02 m →
40 015 m²		 S 70.884288°
W 77.744751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284034729003906 y=0.783531188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284034729003906 × 216)
    floor (0.284034729003906 × 65536)
    floor (18614.5)     		tx = 18614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783531188964844 × 216)
    floor (0.783531188964844 × 65536)
    floor (51349.5)     		ty = 51349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18614 / 51349 ti = "16/18614/51349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18614/51349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18614 ÷ 216
    18614 ÷ 65536     		x = 0.284027099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51349 ÷ 216
    51349 ÷ 65536     		y = 0.783523559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284027099609375 × 2 - 1) × π
    -0.43194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.35699775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783523559570312 × 2 - 1) × π
    -0.567047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78143106368053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35699775} λ = -1.35699775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78143106368053))-π/2
    2×atan(0.168396987939224)-π/2
    2×0.166831759397264-π/2
    0.333663518794528-1.57079632675     		φ = -1.23713281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35699775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.750244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23713281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.882489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18614 KachelY 51349 -1.35699775 -1.23713281 -77.750244 -70.882489
    Oben rechts KachelX + 1 18615 KachelY 51349 -1.35690188 -1.23713281 -77.744751 -70.882489
    Unten links KachelX 18614 KachelY + 1 51350 -1.35699775 -1.23716421 -77.750244 -70.884288
    Unten rechts KachelX + 1 18615 KachelY + 1 51350 -1.35690188 -1.23716421 -77.744751 -70.884288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23713281--1.23716421) × R
    3.13999999999037e-05 × 6371000     		dl = 200.049399999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23713281--1.23716421) × R
    3.13999999999037e-05 × 6371000     		dr = 200.049399999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35699775--1.35690188) × cos(-1.23713281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32750668811048 × 6371000     		do = 200.037079691081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35699775--1.35690188) × cos(-1.23716421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32747701969481 × 6371000     		du = 200.018958585635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23713281)-sin(-1.23716421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32750668811048-0.32747701969481)×R²
    abs(-1.35690188--1.35699775)×2.96684156698701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96684156698701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96684156698701e-05×40589641000000     		ar = 40015.485215041m²