Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18614 / 19380
↖ ↑ ↗
← S 31.240986°
E 24.499511°		 ← 1 044.49 m → S 31.240986°
E 24.510498°		 →
↑
1 044.40 m
↓
↑
1 044.40 m
↓
S 31.250378°
E 24.499511°		 ← 1 044.39 m →
1 090 813 m²		 S 31.250378°
E 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568069458007812 y=0.591445922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568069458007812 × 215)
    floor (0.568069458007812 × 32768)
    floor (18614.5)     		tx = 18614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591445922851562 × 215)
    floor (0.591445922851562 × 32768)
    floor (19380.5)     		ty = 19380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18614 / 19380 ti = "15/18614/19380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18614/19380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18614 ÷ 215
    18614 ÷ 32768     		x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19380 ÷ 215
    19380 ÷ 32768     		y = 0.5914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.574475805046753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574475805046753))-π/2
    2×atan(0.562999913182982)-π/2
    2×0.512769135197529-π/2
    1.02553827039506-1.57079632675     		φ = -0.54525806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54525806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.240986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18614 KachelY 19380 0.42759714 -0.54525806 24.499511 -31.240986
    Oben rechts KachelX + 1 18615 KachelY 19380 0.42778889 -0.54525806 24.510498 -31.240986
    Unten links KachelX 18614 KachelY + 1 19381 0.42759714 -0.54542199 24.499511 -31.250378
    Unten rechts KachelX + 1 18615 KachelY + 1 19381 0.42778889 -0.54542199 24.510498 -31.250378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54525806--0.54542199) × R
    0.000163930000000034 × 6371000     		dl = 1044.39803000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54525806--0.54542199) × R
    0.000163930000000034 × 6371000     		dr = 1044.39803000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42778889) × cos(-0.54525806) × R
    0.000191749999999991 × 0.854993479335995 × 6371000     		do = 1044.49359285086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42778889) × cos(-0.54542199) × R
    0.000191749999999991 × 0.854908447398377 × 6371000     		du = 1044.38971449837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54525806)-sin(-0.54542199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854993479335995-0.854908447398377)×R²
    abs(0.42778889-0.42759714)×8.50319376176634e-05×R²
    0.000191749999999991×8.50319376176634e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.50319376176634e-05×40589641000000     		ar = 1090812.80799078m²