Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18614 / 19183
↖ ↑ ↗
← S 29.372602°
E 24.499511°		 ← 1 064.60 m → S 29.372602°
E 24.510498°		 →
↑
1 064.53 m
↓
↑
1 064.53 m
↓
S 29.382175°
E 24.499511°		 ← 1 064.50 m →
1 133 241 m²		 S 29.382175°
E 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568069458007812 y=0.585433959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568069458007812 × 215)
    floor (0.568069458007812 × 32768)
    floor (18614.5)     		tx = 18614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585433959960938 × 215)
    floor (0.585433959960938 × 32768)
    floor (19183.5)     		ty = 19183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18614 / 19183 ti = "15/18614/19183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18614/19183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18614 ÷ 215
    18614 ÷ 32768     		x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19183 ÷ 215
    19183 ÷ 32768     		y = 0.585418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.17083740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536701528146149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536701528146149))-π/2
    2×atan(0.58467360469691)-π/2
    2×0.529073860320213-π/2
    1.05814772064043-1.57079632675     		φ = -0.51264861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51264861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.372602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18614 KachelY 19183 0.42759714 -0.51264861 24.499511 -29.372602
    Oben rechts KachelX + 1 18615 KachelY 19183 0.42778889 -0.51264861 24.510498 -29.372602
    Unten links KachelX 18614 KachelY + 1 19184 0.42759714 -0.51281570 24.499511 -29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 18615 KachelY + 1 19184 0.42778889 -0.51281570 24.510498 -29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51264861--0.51281570) × R
    0.000167090000000036 × 6371000     		dl = 1064.53039000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51264861--0.51281570) × R
    0.000167090000000036 × 6371000     		dr = 1064.53039000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42778889) × cos(-0.51264861) × R
    0.000191749999999991 × 0.871448456811184 × 6371000     		do = 1064.59563919242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42778889) × cos(-0.51281570) × R
    0.000191749999999991 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 1064.49550429055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51264861)-sin(-0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871448456811184-0.871366489158399)×R²
    abs(0.42778889-0.42759714)×8.19676527846758e-05×R²
    0.000191749999999991×8.19676527846758e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.19676527846758e-05×40589641000000     		ar = 1133241.11529593m²