Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18613 / 51338
↖ ↑ ↗
← S 70.862689°
W 77.755737°		 ← 200.26 m → S 70.862689°
W 77.750244°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
S 70.864490°
W 77.755737°		 ← 200.24 m →
40 098 m²		 S 70.864490°
W 77.750244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284019470214844 y=0.783363342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284019470214844 × 216)
    floor (0.284019470214844 × 65536)
    floor (18613.5)     		tx = 18613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783363342285156 × 216)
    floor (0.783363342285156 × 65536)
    floor (51338.5)     		ty = 51338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18613 / 51338 ti = "16/18613/51338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18613/51338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18613 ÷ 216
    18613 ÷ 65536     		x = 0.284011840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51338 ÷ 216
    51338 ÷ 65536     		y = 0.783355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284011840820312 × 2 - 1) × π
    -0.431976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.35709363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.56671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35709363} λ = -1.35709363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78037645188889))-π/2
    2×atan(0.168574675067383)-π/2
    2×0.16700454167243-π/2
    0.334009083344859-1.57079632675     		φ = -1.23678724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35709363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.755737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23678724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.862689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18613 KachelY 51338 -1.35709363 -1.23678724 -77.755737 -70.862689
    Oben rechts KachelX + 1 18614 KachelY 51338 -1.35699775 -1.23678724 -77.750244 -70.862689
    Unten links KachelX 18613 KachelY + 1 51339 -1.35709363 -1.23681867 -77.755737 -70.864490
    Unten rechts KachelX + 1 18614 KachelY + 1 51339 -1.35699775 -1.23681867 -77.750244 -70.864490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23678724--1.23681867) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dl = 200.24052999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23678724--1.23681867) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dr = 200.24052999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35709363--1.35699775) × cos(-1.23678724) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.327833179969515 × 6371000     		do = 200.257383177817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35709363--1.35699775) × cos(-1.23681867) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32780348676682 × 6371000     		du = 200.239245041005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23678724)-sin(-1.23681867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327833179969515-0.32780348676682)×R²
    abs(-1.35699775--1.35709363)×2.96932026955798e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.96932026955798e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.96932026955798e-05×40589641000000     		ar = 40097.828551998m²