Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18613 / 19390
↖ ↑ ↗
← S 31.334871°
E 24.488526°		 ← 1 043.40 m → S 31.334871°
E 24.499511°		 →
↑
1 043.38 m
↓
↑
1 043.38 m
↓
S 31.344254°
E 24.488526°		 ← 1 043.30 m →
1 088 607 m²		 S 31.344254°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568038940429688 y=0.591751098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568038940429688 × 215)
    floor (0.568038940429688 × 32768)
    floor (18613.5)     		tx = 18613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591751098632812 × 215)
    floor (0.591751098632812 × 32768)
    floor (19390.5)     		ty = 19390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18613 / 19390 ti = "15/18613/19390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18613/19390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18613 ÷ 215
    18613 ÷ 32768     		x = 0.568023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19390 ÷ 215
    19390 ÷ 32768     		y = 0.59173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568023681640625 × 2 - 1) × π
    0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.576393281031555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42740540} λ = 0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576393281031555))-π/2
    2×atan(0.561921408703673)-π/2
    2×0.511949828289365-π/2
    1.02389965657873-1.57079632675     		φ = -0.54689667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54689667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.334871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18613 KachelY 19390 0.42740540 -0.54689667 24.488526 -31.334871
    Oben rechts KachelX + 1 18614 KachelY 19390 0.42759714 -0.54689667 24.499511 -31.334871
    Unten links KachelX 18613 KachelY + 1 19391 0.42740540 -0.54706044 24.488526 -31.344254
    Unten rechts KachelX + 1 18614 KachelY + 1 19391 0.42759714 -0.54706044 24.499511 -31.344254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54689667--0.54706044) × R
    0.000163770000000008 × 6371000     		dl = 1043.37867000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54689667--0.54706044) × R
    0.000163770000000008 × 6371000     		dr = 1043.37867000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42740540-0.42759714) × cos(-0.54689667) × R
    0.000191739999999996 × 0.854142485231692 × 6371000     		do = 1043.39956763382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42740540-0.42759714) × cos(-0.54706044) × R
    0.000191739999999996 × 0.854057306982321 × 6371000     		du = 1043.29551596785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54689667)-sin(-0.54706044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854142485231692-0.854057306982321)×R²
    abs(0.42759714-0.42740540)×8.51782493702657e-05×R²
    0.000191739999999996×8.51782493702657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.51782493702657e-05×40589641000000     		ar = 1088606.57294501m²